tangentes a une parabole

Gagaro · 02-04-2007 18:11:49

Je sais pas si t'a vu mon edit :

[tex]g'(x)=-\frac{x}{\sqrt{-a^2x^2 + 2abx + 1 - b^2}}[/tex]

J'y avais pensé justement a la question 1 et 2, mais le seul rapport que je vois c'est le x² qui se retrouve en haut, donc c'est pour sa que j'avais mis b au debut.

Mais en y reflechissant sa pourrais pas etre :

[tex]g'(x)=-\frac{b-ax}{\sqrt{-a^2x^2 + 2abx + 1 - b^2}}[/tex]

?

Merci, @+

EDIT : Y'aurait pas une identite remarquable ? -(b-ax)²+1

Dernière modification par Gagaro (02-04-2007 18:15:57)

yoshi · 02-04-2007 18:40:15

Salut,

Effectivement, ils voulaient que tu voies :
[tex]sqrt{-a^2x^2+2abx+1-b^2}=sqrt{1-(a^2x^2-2abx+b^2)}=sqrt{1-(ax-b)^2}[/tex]

Donc, en posant
[tex]u=ax-b\text{ on se retrouve avec sqrt{1-u^2}[/tex]

Et c'est bien là le hic, car alors on en déduit que la dérivée est :
[tex]{-\frac{u}{sqrt{1-u^2}}}={-\frac{ax-b}{sqrt{1-(ax-b)^2}}}[/tex]
laquelle dérivée est fausse (sauf erreur de calcul de ma part) car il manque un facteur a au numérateur

Je cherche, j'ai bien une idée, mais elle ne me plaît pas : c'est le nième retour de "Dédé la Bricole"..

@+

Dernière modification par yoshi (02-04-2007 19:06:54)

Gagaro · 02-04-2007 18:58:50

Je me suis trompe sur l'indentiter remarquable mais au moins je l'ai trouver, c'est deja sa ^^
Moi en le calculant je trouve pas du tous sa, je vais essayer de refaire mon calcul ;)

yoshi · 02-04-2007 19:15:05

Grrrrrrrrrr,

Je pose : V = 1 -(ax-b)² et donc V' = -2a(ax-b)
D'où la dérivée :
[tex]\frac{V'}{2 sqrt V}=\frac{-2a(ax-b)}{2 sqrt{1-(ax-b)^2}}={-\frac{a(ax-b)}{sqrt{1-(ax-b)^2}}}[/tex]

On ne peut pas reprendre l'intégralité de la procédure coeff dir (OM) et coeff tangente, ça ne marche que si a = 1, sinon, on n'a plus une cercle, donc [OM] n'est plus un rayon, et la perpendiculaire à [OM] n'est plus la tangente à la courbe donc plus de dérivée (obtenue ainsi)...
En effet, si a n'est pas égal à 1 l'équation remodelée est :
[tex]\frac{(x-{b \over a})^2}{1^2}+\frac{y^2}{a^2}={1 \over a^2}[/tex]
qui n'est pas, effectivement, l'équation d'un cercle (mais plutôt d'une sorte d'ellipse)

Et si a n'est pas égal à 1, à vouloir imiter les questions b) et c) on se retrouve avec la problème de la constante a...
Donc, j'ai comme l'impression que ce pb c'est du "fait-main" et dans ce cas, il arrive qu'on se rate (je suis bien placé pour le savoir ;-) )

Pour l'instant, je crois que Dédé la Bricole va être gagnant...

[EDIT]
Soit ce soir, je ne suis plus bon qu'à jeter aux chiens (et encore, ils n'en voudraient peut-être pas), soit il y a un hic quelque part..
Le bricolage serait de dire que en comparant b) et c) on s'aperçoit que normalement quand on dérive x² ça donne 2x, mais que si on dérive ax² ça donne 2ax, idem pour (ax-b)² qui donne quand on dérive 2a(ax-b) et que le 2 "disparaît", avec le calcul globalisé...
On dit qu'on adapte alors en remplaçant le x du numérateur par a(ax - b)...
Mais ça, on ne peut le dire que si on a, au préalable et sans le dire, calculé cette dérivée avec les techniques ad hoc, ce qui est un peu "malhonnête", il faut bien l'avouer...

Comme dirait John, Demain sera un autre jour, et peut-être que la nuit passée, je vais revenir, rouge de confusion, en présentant mes plus plates excuses...
J'en doute un peu, à force de m'acharner sur mes calculs et de retrouver la même chose !

[EDIT] - bis -
Je viens de vérifier en prenant a = 2 et b = 1 et mon grapheur : j'ai bien une ellipse plus haute que large dont le grand axe est porté par la droite d'équation x = 1/2

Dernière modification par yoshi (02-04-2007 20:21:42)

Gagaro · 02-04-2007 20:19:48

Y'a juste un truc que je comprends pas, la dérivé de -(ax-b)² c'est pas -2(ax-b) ? (Pasque (x²)'=2x)

yoshi · 02-04-2007 20:25:23

et !

Comme dirait Poutine !
(ax - b)² = a²x²-2abx+b² et si on dérive, on obtient 2a²x-2ab = 2a(ax-b)
Si tu préfères (U²)'=2U'U et comme U = ax - b alors U' = a

OK ?

A demain, courage en cours !

Dernière modification par yoshi (02-04-2007 20:31:21)

Gagaro · 02-04-2007 20:52:01

A d'accords j'ai pas utiliser la bonne methode de derivation ^^'

Merci, a demain, et bon courage aussi (je sais pas ou par contre ^^)

yoshi · 03-04-2007 07:58:21

Bonjour,

Vacances ou pas (t'as ta réponse !), << Le Monde appartient à ceux qui se lèvent "tôt" ! >>...

1. Tu as écrit

Je me suis trompé sur l'indentité remarquable mais au moins je l'ai trouvée, c'est déjà ça ^^[/b]

Non, il n'y avait pas d'erreurs (compte tenu de cette histoire de facteur a manquant) (ax - b)² = (b - ax)²... Par contre, au numérateur tu avais écrit b- ax et mis un - devant la fraction, alors que dans ce cas il n'en fallait pas puisque -(ax - b) = b -ax

2. Je ne viens pas repentant du tout...
Clarifions les choses :
* Si a = 1 et b différent de 0, l'équation donnée est celle d'un demi-cercle de centre E(b ; 0) et de rayon 1. La méthode est adaptable à condition de calculer le coefficient directeur de la droite (EM) qui porte le rayon [EM], et non plus (OM) le centre n'étant plus O...
* Si a différent de 1 et b différent de 0, on a l'équation d'une demi-ellipse, donc plus question (sauf à "bricoler" comme je l'ai fait...pt'être qq un va passer et me montrer un non-bricolage : j'aimerais bien) d'imiter le b) et le c) puisque ainsi que je l'ai dit, il n'y a plus de cercle, donc plus de rayon, donc plus de tangente au cercle donc ce coeff dir n'est plus égal à la dérivée...

3. Dans le dernier cas ci-dessus, si on ne veut pas utiliser les formules ad hoc, il ne reste plus qu'à "réinventer la roue" en repartant de la définition de la tangente à une courbe (attention ! chaud devant !). Je précise tout de suite : ce n'est pas ce qu'on te demandait, c'est juste pour ton édification...
Allons-y
- Prenons sur la courbe deux points M et N tels que M(x0 ; g(x0)) et N(x0+h ; g(x0+h)) et déplaçons N sur la courbe vers M jusqu'à ce qu'ils ne fassent plus qu'un... La position limite de (MN) est donc celle de la tangente en M à ladite courbe.
- calculatoirement parlant, cela revient à chercher la limite de [tex]\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{(x_0+h)-x_0}[/tex] quand h tend vers 0, soit encore la limite de :
[tex]\frac{sqrt{1-(a(x_0+h)-b)^2}-sqrt{1-(ax_0-b)^2}}{h}[/tex] quand h tend vers 0... Hélas, on une forme indéterminée du type 0/0, il faut donc lever l'indétermination...
Pour ça, on va multiplier num. et dénomin. par la quantité conjuguée du numérateur :
[tex]\frac{(sqrt{1-(a(x_0+h)-b)^2}-sqrt{1-(ax_0-b)^2})\times(sqrt{1-(a(x_0+h)-b)^2}+sqrt{1-(ax_0-b)^2})}{h\;\times(sqrt{1-(a(x_0+h)-b)^2}+sqrt{1-(ax_0-b)^2})}[/tex]

Ou encore :
[tex]\frac{({1-(a(x_0+h)-b)^2}-{(1-(ax_0-b)^2})}{h\;\times(sqrt{1-(a(x_0+h)-b)^2}+sqrt{1-(ax_0-b)^2})}[/tex]

[tex]\frac{{(ax_0-b)^2}-{(a(x_0+h)-b)^2}}{h\;\times(sqrt{1-(a(x_0+h)-b)^2}+sqrt{1-(ax_0-b)^2})}[/tex]

[tex]\frac{(ax_0-b+a(x_0+h)-b)\times(ax_0-b-(a(x_0+h)-b))}{h\;\times(sqrt{1-(a(x_0+h)-b)^2}+sqrt{1-(ax_0-b)^2})}[/tex]

[tex]\frac{(2ax_0+ah-2b)\times(-ah)}{h\;\times(sqrt{1-(a(x_0+h)-b)^2}+sqrt{1-(ax_0-b)^2})}[/tex]

h n'étant pas égal à 0, on simplifie par h, puis on fait tendre h vers 0 et cette limite s'écrit :
[tex]\frac{-2a(ax_0-b)}{2sqrt{1-(ax_0-b)^2}}[/tex]

Et enfin (ouf !) :
[tex]{-}\frac{a(ax_0-b)}{sqrt{1-(ax_0-b)^2}}[/tex]

Voilà, ça a été assez douloureux à écrire (1 h 30 mais 5 min dans ma tête !), mais maintenant on est fixé... Ceci dit, j'aimerais que tu vérifies (très) soigneusement les termes de ton énoncé.

@+

Gagaro · 03-04-2007 17:37:05

Salut,

Bon finalement ma prof a ramasser les exos aujourd'hui, donc j'ai plus besoin d'aide :s

[tex]\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}[/tex] C'est la méthode que j'ai appris y'a plusieurs mois sa, ma prof veut plus qu'on l'utilise :(

Le truc pour enlever les racine carre au nominateur j'ai jamais vraiment compris non plus, en fait on muliplie par le contraire de ce qu'il y a au nominateur ?

1h30 rien que pour moi ^^, c'est quoi qui te prends le plus de temps ? ecrire les formules LaTeX ou ecrire tous courts ? Pasque doit bien y avoir des programme pour faciliter tous sa :p

J'ai recopier les ennoncer exactement comme il etait ecrit sur mon livre

@++ ;)

yoshi · 03-04-2007 17:57:16

Bonsoir,

Aujourd'hui était un mauvais jour, une faute de frappe tous les dix caractères...
Et là, les formules Latex, ça a été assez pénible ; bcp d'affichages bizarres dues à des erreurs..
Bof, quand on aime, on compte pas...

Pour ta question, supposons que l'on ait :
[tex]\frac{1}{sqrt a - sqrt b}[/tex]
Pour virer les racines de dessous, il faut utiliser l'identité (x-y)(x+y) = x²-y², donc multiplier par la même chose mais en changeant le signe...
C'est ce que j'ai fait dans la résolution mais parce que
- c'est une technique classique ainsi que je viens de le dire
- parce que le zéro au numérateur venait de la soustraction, d'où l'idée (classique elle aussi) de multiplier par la même chose avec un +.
L'avantage c'est que ça permis ensuite de dégager un h pour simplifier avec celui du bas et l'indétermination était levée...

J'ai fait ça juste pour le fun, juste pour montrer que quoi que je fasse je retombais sur la même dérivée et qu'il y avait sûrement une astuce pour imiter le 2 b) et le 2c), astuce que j'estime ne pas avoir trouver parce qu'ainsi que je l'ai montré si on imite servilement on tombe au numérateur sur ax - b et non a(ax - b).
Et je suis frustré de ne pas l'avoir trouvée cette astuce, frustré et fâché (avec mon cerveau).

@+

PS donc puisqu'exo du bouquin, pas d'erreur d'énoncé (en principe)... Ben zut alors, voilà qui augmente ma perplexité ;-)

Gagaro · 03-04-2007 18:29:07

Moi aussi je programme beaucoup et j'ai l'habitude de chercher longtemps des erreurs (mais sa me derange pas ^^), enfin bref :p

Peut etre que c'est une erreur de celui qui a fait l'exo, qu'il a résonner comme moi (il était trop fatigue ce jour la ^^) et qu'il a fait (x²)' au lieu de (U²)'

c'est la seule explication a peu pres logique que je voie o_O

@+ ;)

yoshi · 03-04-2007 18:42:52

Bonsoir,

Surtout lorsque tu auras le corrigé (si tant est qu'il y en ait un et que d'ici là je n'aie pas trouvé de réponse réellement satisfaisante) reviens signaler où était l'astuce...

Programmation : j'ai fait plein de choses en Basic Amstrad puis Basic Compilé (Turbobasic), notamment un logiciel de Conjugaison (pour n'importe quel verbe) déterminant de lui-même (et sans liste de verbes, mais en 4 lignes de code) si un verbe en ir qu'on lui demande de conjuguer est du 2e ou 3e groupe, et je voudrais re-traduire tout ça dans un langage moderne...
Donc, je cherche ce qui me conviendrait le mieux...

A un de ces jours, peut-être...

Gagaro · 03-04-2007 19:53:14

Moi en je fais surtout du xHTML, PHP et CSS (création de site en gros ^^), mais je fais aussi un peu de C/C++ et avant je faisait du C-Script, un language propre a un programme (3D Game Studio).

En language moderne et simple, y'a le Visual Basic.NET, le Python, le Pearl, etc... bref l'embarras du choix ^^
Sinon tu pourrais me montrer les 4 lignes de code ? (si tu les a toujours et si c'est pas confidentiel ;)), sa m'interressai ^^

Merci, @ +

PS : et dès que j'ai la correction je reviens mettre le pourquoi du comment ;)

yoshi · 04-04-2007 08:28:45

Bonjour,

Non, ce n'est pas confidentiel, sinon moi ardent défenseur du Logiciel Libre comment pourrais-je me regarder dans une glace ?
L'idée est venue grâce aux Maths et aux 3 verbes-clé : observer, comparer, déduire...
J'ai mis 3 mois...
L'idée est basée sur l'extraction des 5 et 6 dernières lettres du verbe... Parmi les t5, je teste si elle appartient à une liste de douze.
Si oui, et si le verbe ne fait partie d'une douzaine d'exceptions --> 3e groupe
Exemple : servir 3e gr, mais asservir 2e gr...
Bon je t'envoie le code par mél..
Il y a plus que 4 lignes, mais j'y teste aussi d'autres exceptions qui ne font pas partie des verbes en ir...

Mon programme tournait vite, y compris avec l'Amstrad CPC 6128 dont le process tournait à 4,77 Hz (!) : j'avais planqué tous les calculs (parce que ce soft contient curieusement pas mal de calculs) après les ordres d'affichage...

J'ai aussi proposé à Fred notre Administrateur, des techniques de calcul inédites de carrés magiques...
Certains étaient tellement beaux, en étudiant la répartition pairs/impairs, que j'avais perforé des cartes pour tester les motifs avec une machine à tricoter... :-D

Bonne réception

@+

Gagaro · 04-04-2007 08:49:43

Salut,

Youpi, un autre fan de logiciel libre ^^

Sa me fait penser a un truc qui m'a fait marrer :

"Le sexe c'est comme les logiciels, c'est mieux quands c'est libre !" (Halala, ces jeunes :))

J'ai repondu a ton mail, je regarde sa ce soir des que je rentre de cours, la je dois y aller désolé.

@++

yoshi · 04-04-2007 09:03:27

B'jour,

Oui, je connaissais....
Plus "sérieux" (?) : La route est longue, mais la voie est LIBRE (Framasoft.net dixit)...

Que la force soit avec toi (et le boulot aussi) !
A propos de cette dernière question, ils en ont dit quoi tes copains ?

@+

Gagaro · 04-04-2007 12:37:13

Resalut,

Je repasse vite fait, entre mes cours et mon kayak (qui dure 3h :) ).

Un autre proverbe, aussi sérieux que le mien mais qui n'a rien a voir avec le libre :

"Dans un couple, au moins l'un des 2 doit être fidèle, de préférence l'autre..."

Mouai le boulot est bien avec moi (je fais que sa en ce moment, entre l'oral blanc de français, le bac blanc de français, mon contrôle d'histoire demain...), meme plus le temps sortir :(

Ils ont dit la meme chose, l'identite remarquable etc... Mais ils ont pas calculer la dérivé (tous des flemmards ces lycéens ^^), on erras bien ce que sa va donner dans le corrige.

Et j'ai pas eu trop le temps de regarder le code non plus, je ferais sa ce soir (si j'ai le temps entre 2 revision :s)

@++

Gagaro · 05-04-2007 19:58:16

Corrigé :

[tex]-a^2x^2+2abx+1-b^2=1-(ax-b)^2[/tex]

[tex]g(x)=\sqrt{1-(ax-b)^2}=f(ax-b)[/tex]

=> [tex]g'(x)=af'(ax-b)=a(-\frac{ax-b}{\sqrt{1-(ax-b)^2}})=\frac{-ax^2+ab}{\sqrt{-a^2x^2+2abx+1-b^2}}[/tex]

yoshi · 05-04-2007 20:09:18

Salut,

J'ai vu...

Ca correspond aux explications "tarabiscotées" que j'avais données pour rectifier le ax - b en a(ax - b), mais ça a le (très) gros avantage d'être parfaitement rigoureux et non plus seulement intuitif. C'était sioux (comme mon pseudo MSN, - fin du message personnel). Donc
1. J'en suis satisfait,
2. Je vais devoir relire pour me ré-imprégner de la technique (NDLR : ou plutôt de son écriture "moderne") que j'avais oubliée,
3. Une question : aviez-vous vu ce genre de manip en cours ? Sûrement !

Euh... Ca serait pas plutôt :
[tex]f(x)= sqrt{1-x^2}[/tex] ?
Dans l'esprit de la composition des fonctions...
D'autre part sinon, je ne vois pas du premier coup comment arrive cette racine...

En effet, si je note maintenant :
[tex]k\;:\;k(x)=ax-b[/tex]
alors:
[tex]x\rightarrow ax-b \rightarrow sqrt{1-(ax-b)^2}[/tex]
On applique la fonction k à x pour obtenir (ax -b) à quoi on applique ma fonction f pour obtenir [tex]sqrt{1-(ax-b)^2}[/tex]
[tex]g(x)=f(k(x))[/tex]

Je regarderai mieux demain

@+

[EDIT]
Me revoilà :
Dans les cas où ces deux conditions sont vérifiées on peut dire que :
-> La fonction f o k est dérivable en x (l'énoncé disait : .... "lorsqu"elle existe")
-> La dérivée au point x de la fonction composée f o k est égal à k'(x) . f'(k(x)).
Ici, avec mes notations k'(x) = a, et f'(k(x))=f('ax-b) et on retrouve bien le corrigé : [tex]g'(x)=a.f'(ax-b)[/tex]

@++

Dernière modification par yoshi (06-04-2007 06:45:55)

Gagaro · 06-04-2007 18:13:18

Salut

Effectivement c'est bien :

[tex]f(x)= sqrt{1-x^2}[/tex]

Au temps pour moi ( :D )

Je me rappelle plus si on a vu sa en cours, surement dans un exo mais on en fait tellement (et la prof explique tellement bien les exos...) que je me rappelle jamais des technique vu en cours (ni des cours, je suis oblige d'apprendre avec mon bouquin...)

@++

yoshi · 06-04-2007 18:51:54

Salut Gagaro,

Et bien alors voilà, t'as un mini-cours. Quant à moi, je pensais que savoir que [tex](u^n)')=nu'u^{n-1}[/tex] sufffisait et bien je me suis trompé, je vois maintenant l'intérêt de cette formule plus générale...
Il ne te reste plus qu'à l'apprendre... une de plus !

Courage !

@+

Gagaro · 06-04-2007 20:41:44

Sa fait beaucoup de formule à retenir tous sa xD
En plus j'ai un controle de math mardi...

Ouinnnnnnnnnn :'(

Merci, et @++ ;)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#26 02-04-2007 18:11:49

Re : tangentes a une parabole

#27 02-04-2007 18:40:15

Re : tangentes a une parabole

#28 02-04-2007 18:58:50

Re : tangentes a une parabole

#29 02-04-2007 19:15:05

Re : tangentes a une parabole

#30 02-04-2007 20:19:48

Re : tangentes a une parabole

#31 02-04-2007 20:25:23

Re : tangentes a une parabole

#32 02-04-2007 20:52:01

Re : tangentes a une parabole

#33 03-04-2007 07:58:21

Re : tangentes a une parabole

#34 03-04-2007 17:37:05

Re : tangentes a une parabole

#35 03-04-2007 17:57:16

Re : tangentes a une parabole

#36 03-04-2007 18:29:07

Re : tangentes a une parabole

#37 03-04-2007 18:42:52

Re : tangentes a une parabole

#38 03-04-2007 19:53:14

Re : tangentes a une parabole

#39 04-04-2007 08:28:45

Re : tangentes a une parabole

#40 04-04-2007 08:49:43

Re : tangentes a une parabole

#41 04-04-2007 09:03:27

Re : tangentes a une parabole

#42 04-04-2007 12:37:13

Re : tangentes a une parabole

#43 05-04-2007 19:58:16

Re : tangentes a une parabole

#44 05-04-2007 20:09:18

Re : tangentes a une parabole

#45 06-04-2007 18:13:18

Re : tangentes a une parabole

#46 06-04-2007 18:51:54

Re : tangentes a une parabole

#47 06-04-2007 20:41:44

Re : tangentes a une parabole

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