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Paul André

Invité

Exercices Suites (HEC ECE)

Bonjour,

je poste pour la première sur le forum. J'ai un soucis sur la fin d'un exercice sur les suites.
Voici l'exercice :

Exercice
1. Pour [tex]n \in \mathbb{N}^*[/tex], on considère la fonction [tex]f_n[/tex] définie sur [tex]\mathbb{R}_+[/tex] par :
   [tex]x+2x^2+\cdots+nx^n=\sum_{k=1}^n kx^k[/tex]
   Montrer que l'équation [tex]f_n(x)=1[/tex] admet une unique solution que l'on notera [tex]u_n[/tex].
2. En évaluant [tex]f_{n+1}(u_n)[/tex], montrer que la suite [tex](u_n)_{n\geqslant1}[/tex] est décroissante.
    Montrer que la suite [tex](u_n)_{n\geqslant1}[/tex]  est convergente.

3. a) Montrer que[tex] f_n(x)=x\times\frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2}[/tex]

    b)  Calculer [tex]u_2[/tex]. En déduire [tex]\lim_{n\to +\infty} (u_n)^n[/tex] et  [tex]\lim_{n\to +\infty} n(u_n)^n[/tex]
    c) Déterminer la limite de la suite [tex](u_n)_{n\geqslant1}[/tex]

J'ai du mal pour la question 3 b). Je n'arrive pas à voir comment à partir de U2 on arrive à répondre à la question. Cela fait trois jours que je suis bloqué sur cette question. Je suppose qu'il faut utiliser la question précédente. J'ai tout essayé mais je ne vois pas.

Merci de m'aider.

Paul André

Dernière modification par yoshi (07-12-2015 08:30:20)

Fred

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Re : Exercices Suites (HEC ECE)

Bonjour,

  Si j'ai bien calculé, j'ai trouvé [tex]u_2=1/2[/tex].
Maintenant, comme la suite [tex](u_n)[/tex] est décroissante et positive, j'ai un encadrement facile de [tex]u_n[/tex], et même de [tex]u_n^n[/tex] qui devrait te donner la solution.

F.

Paul André

Invité

Re : Exercices Suites (HEC ECE)

Merci beaucoup. Je me suis focalisé sur la question précédente et je n'ai pas pensé à ça.
Grave à vous j'ai pu réussir l'exercice. Merci beaucoup.

Paul André