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carla

Invité

arithmétique

bonsoir, j'ai du mal a un exercice. Je ne vois pas comment faire les questions.

1. Soit a et b deux entiers relatifs. Démontrer que :

(a) Pour tout entier naturel n ≥ 1, a^n − b^n est un multiple de a − b.

(b) Si n est un entier naturel impair, alors a^n + b^n est un multiple a + b.

(c) Application : Soit a entier relatif (a différent de 1). Démontrer que :∀n ∈ N∗, 1-a^n est multiple de 1-a, en déduire que 2^3n est divisible par 7.

2. (a). démontrer que : Si a divise b alors on a l'équivalence :a|(b + c) ⇔ a|c

(b) démontrer: a et b entiers, b non nul. Si a divise b, alors |a| ≤ |b|.

Merci d'avance pour vos réponses; je bloque des la première question

Fred

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Messages : 7 352

Re : arithmétique

Salut

  Je vais t'aider pour le début :
1. (a) Il suffit de factoriser. Sans te donner la formule dans le cas général, remarque que
[tex]a^2-b^2=(a-b)(a+b),\ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2), a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3),...[/tex]

(b) Presque pareil, avec n=3 :
[tex]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)...[/tex]

(c) Est-ce que ce n'est pas plutôt [tex]2^{3n}-1[/tex]???? Conseil : [tex]2^{3n}=8^n[/tex]

F.