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Anonyme007

Invité

Ensemble ordonnée

Bonjour à tous,

Soit [tex]E[/tex] un ensemble ordonnée.
Montrer que :
- Tout sous ensemble admet un élément maximal
si et seulement si :
- Tout suite croissante est stationnaire.

Je vois mal comment m'y prendre dans cet exo, pouvez vous m'aider svp ?

Merci d'avance.

Fred

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Re : Ensemble ordonnée

Salut,

  Pour le sens direct, c'est assez facile.
Considère une suite [tex](u_n)[/tex] croissante, et pose [tex]F[/tex] l'ensemble de ses éléments, [tex]F=\{u_n;\ n\geq 0\}[/tex]. Du fait que [tex]F[/tex] possède un élément maximal, tu devrais pouvoir tirer que toute suite croissante est stationnaire.

Pour le sens réciproque, est-ce que tu n'aurais pas oublié une hypothèse sur [tex]E[/tex], par exemple qu'il est totalement ordonné???

F.

Anonyme007

Invité

Re : Ensemble ordonnée

Salut Fred :

Merci d'abord pour tes indications ... Je vais y réfléchir tout de suite. ..
Concernant ta question, je ne sais pas, voici où je trouve ça : https://perso.univ-rennes1.fr/matthieu. … ouquin.pdf , page : 26.

Cordialement.

Fred

Administrateur

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Re : Ensemble ordonnée

Ok. J'avais confondu élément maximal et plus grand élément!
Pour prouver le sens direct, je te conseille donc de procéder par contraposer, en démontrant que s'il existe une partie [tex]F[/tex] de [tex]E[/tex] qui n'admet pas d'élément maximal, alors on peut construire une suite de [tex]E[/tex] croissante et qui n'est pas stationnaire. Pour cela, part de n'importe quel élément [tex]u_0\in F[/tex]. Ce n'est pas un élément maximal de [tex]F[/tex], donc on peut trouver [tex]u_1\in F[/tex] tel que [tex]u_1\geq u_0[/tex].....