tangentes a une parabole

Gagaro · 31-03-2007 18:11:36

Deja resalut tous le monde, sa fait longtemps que je suis pas passer, révision oblige ^^, mais la je bloque sur un exo (ou plutôt 2, mais pour l'instant je prefere en faire que 1 :) )

Donc :

1°) Soit la fonction f définie sur R par f(x)=ax² où a € (appartient) R* et P sa représentation graphique dans un repère orthonormal du plan.
a) Soit A et B deux points de P d'abscisses respectives x1 et x2. Calculer le coefficient directeur de la droite (AB).
b) Determiner l'abscisse x0 du point de P en lequel la tangente est parallèle à la droite (AB). On exprimera x0 en fonction de x1 et x2.

Voila la premiere partie du premiere exo, donc moi j'ai fait :

f(x) = ax²
f'(x) = 2ax

a) coeff directeur = (x2-x1)/(f(x2)-f(x1)) = (x1-x2)/(a(x2²-x1²))

b) La je sais pas comment faire, j'ai penser a y=f'(a)(x-a)+f(a) mais j'arrive a rien de concluant, j'ai essayer aussi f'(x0)x = (x1-x2)/(a(x2²-x1²)) mais pareil rien de concluant, donc soit je me suis tromper soit je vais sur le mauvais chemin, je sais pas trop :s

Merci d'avance de m'aider ^^

john · 31-03-2007 18:59:59

Hello,
Lorsqu'on écrit :
y = a*x
a est le coefficient directeur de la droite d'équation y = a*x dans un repère orthonormé (O, i, j).
On a donc a = y/x.
Lorsque tu calcules le coefficient directeur d'une droite passant par 2 points, c'est pareil, les y sont au numérateur et les x sont au dénominateur. D'où :
a = (y2 - y1)/(x2 - x1).
Pour répondre à la 2ème question, il suffit d'écrire que le coefficient directeur de la tangente en xo à P est égal au coefficient directeur de la droite passant par les 2 points de P.
Puisque tu sais dériver, je te rappelle aussi que le coefficient directeur d'une tangente en 1 point xo, c'est la dérivée y' en ce même point xo.
A+

yoshi · 31-03-2007 19:08:50

Bonsoir,

C'est clair que tu ne pouvais pas bien t'en sortir...
a) Déjà ton coeff. dir. est faux, c'est juste l'inverse : m = [f(x2)-f(x1)]/(x2-x1),
Soit
[tex]m=\frac{a(x_2^2-x_1^2)}{x_2-x_1}[/tex]
et tu vas factoriser le numérateur, puis à condition que tu n'aies pas x2 = x1, simplifier...

b) Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur, tu en as déjà calculé un, la suite est évidente...
Au passage, x0 est indépendant de a...

@+

[EDIT]
Grillé par l'homme qui poste plus vite que son ombre !

john · 31-03-2007 19:10:53

Hello yoshi,
pendant que je te tiens...
il me semble que le post du milliard de chiffres est une grosse farce...
A+

[EDIT]
Pour ne pas ajouter un "bruit de fond" au post de Gagaro, j'ai cru devoir ouvrir une nouvelle discussion.
Yoshi

Gagaro · 31-03-2007 20:36:30

J'arrive jamais a retenir si c'est les y ou les x au dessus, mais je vais essayer de retenir avec y=a*x, merci ;)

donc j'ai trouver :

[tex]m=\frac{a(x_2^2-x_1^2)}{x_2-x_1}=\frac{a(x_2-x_1)(x_2+x_1)}{x_2-x_1}[/tex]

Si x2≠x1

[tex]m=a(x_2+x_1)[/tex]

et donc pour le b)

coeff directeur de x0 = f'(x0)
coeff directeur de x0 = coeff directeur de (AB)

=> f'(x0)=a(x2+x1)

Mais apres je sais pas exactement si c'est sa et quoi faire avec :(

john · 31-03-2007 22:55:55

Gagaro a écrit :

f(x) = ax²
f'(x) = 2ax

Il faut exprimer f'(xo) = 2*a*xo
A+

Gagaro · 01-04-2007 10:08:33

[tex]f'(x_0) = 2ax_0 = a(x_2+x_1)[/tex]

=> [tex]2x_0 =x_2+x_1[/tex]

=> [tex]x_0 =\frac{x_2+x_1}{2}[/tex]

Je crois que j'ai trouver, merci ^^

Donc je me lance sur la 2eme partie de l'exercice ;)

2°) Soit la fonction h définie sur [tex]]0 ; +\infty[[/tex] par [tex]h(x)=\frac{a}{x}[/tex] où [tex]a \in \mathbb{R}_+^*[/tex] et H sa representation graphique dans un repère orthonormal du plan.
a)Déterminer l'équation reduite de la tangente D à H au point d'abscisse [tex]x_0[/tex].

[tex]h(x)=\frac{a}{x}[/tex]
[tex]h'(x)=\frac{x-a}{x^2}[/tex] (je suis pas sur de la dérivé :s)

J'ai pris 2 point A et B d'abscisse [tex]x_2 et x_1[/tex]
coeff directeur de (AB) = [tex]\frac{h(x_2)-h(x_1)}{x_2-x_1} =\frac{\frac{a}{x_2}-\frac{a}{x_1}}{x_2-x_1} =\frac{\frac{a(x_1-x_2)}{x_2 \times x_1}}{x_2-x_1} =\frac{a(x_1-x_2)}{x_2 \times x_1(x_1-x_2)} =\frac{a}{x_2 \times x_1}[/tex]

Mais apres sa me donne [tex]h'(x_0) = \frac{x_0-a}{x_0^2} = \frac{a}{x_2 \times x_1}[/tex] et je vos pas quoi faire, donc je pense m'être trompé quelque part :(

(et LaTeX me met des [?] mais je vois pas d'erreur dans mon code o_O)

Merci de m'aider ^^

[edit] en me relisant je vois une erreur ;)

[tex]h'(x)=\frac{a}{x^2}[/tex]

je pense que c'est sa, sa me donnerait :

[tex]h'(x_0) = \frac{a}{x_0^2} = \frac{a}{x_2 \times x_1}[/tex]
=> [tex]\frac{1}{x_0^2} = \frac{1}{x_2 \times x_1}[/tex]
=> [tex]x_0^2 = x_2 \times x_1[/tex] (je sais pas si j'ai le droit d'inverser comme sa ?)
=> [tex]x_0 = \sqrt{x_2 \times x_1}[/tex]

Je prefere attendre confirmation avant de continuer ;)

Dernière modification par Gagaro (01-04-2007 12:02:24)

yoshi · 01-04-2007 11:49:17

Bonjour,

Moi aussi, au début, j'avais les mêmes problèmes avec Latex : ton code est juste, mais il y a des espaces en trop (après le signe =) !!

Quant à la dérivée :
[tex]({a \over x})'=-{a \over x^2}[/tex]
Attention aux signes...
Donc aux signes près à corriger partout, techniquement c'est bon...
Ah, non, je viens de voir au passage que tu as troqué un x2-x1 contre un x1 - x2 (après le 3e signe =) sans modifier le signe (correction faite, regarde bien) :
coeff directeur de (AB) = [tex]\frac{h(x_2)-h(x_1)}{x_2-x_1} =\frac{\frac{a}{x_2}-\frac{a}{x_1}}{x_2-x_1}= \frac{\frac{a(x_1-x_2)}{x_2 \times x_1}}{x_2-x_1} = \frac{a(x_1-x_2)}{x_2 \times x_1(x_2-x_1)}=- \frac{a}{x_2 \times x_1}[/tex]

Bien sûr que tu peux inverser, pourquoi n'aurais-tu pas : "le droit d'inverser comme ça" ?
Deux fractions sont égales si et seulement si les produits en croix (de mon temps, on disait : dans toute proportion, le produit des "extrêmes" est égal au produit des "moyens"...
Tu avais écrit d'autre part :

J'arrive jamais a retenir si c'est les y ou les x au dessus, mais je vais essayer de retenir avec y=a*x, merci ;)

A ce propos donc, un autre "truc" : le coefficient directeur d'une droite, c'est la tangente de l'angle que fait la droite avec l'axe des x (angle à mesurer dans le sens trigonométrique, of course)
Or, si tu retiens le dessin d'un tr. rect avec un côté de l'angle droit "horizontal" et l'autre "vertical", tu vois bien que la tangente de l'angle que fait l'hypoténuse avec le côté horizontal = côté opposé sur côté adjacent = côté "vertical'/côté "horizontal" = (y2 - y1)/(x2-x1)

Je ne vois plus de fautes,
Au besoin, je rectifierai.

@+

[EDIT], non pas de fautes : tu as deux fautes de signes qui se compensent, quelle chance... !
D'autre part x1 et x2 doivent être de même signe, sinon ta racine carrée n'existe pas.
Tu as dû manger une partie de la question qui je pense doit être calquée sur celle de la parabole et une partie de la réponse parce que je ne vois pas la réponse à la question 2) a)

Gagaro · 01-04-2007 12:15:47

J'ai corriger pour mon code LaTeX ;)

J'avais trouver pour l'erreur de signe, mais j'ai pas corriger sur mon post :s

Effectivement j'avais pas vu le changement de x2 et x1, je corrige :p

Oui en faite c'est idiot ce que je dit, mais je fais tellement de truc qui sont pas bon qu'a force je sais plus ce que j'ai le droit de faire ou de pas faire ^^'

Merci pour le novueau truc, bientot je connaitrai toute mes formule ^^ (enfin j'espere :) )

La fonction h est définie sur [tex]]0 ; +\infty[[/tex], je dosi quands meme preciser pour les signe de x1 et x2 ?

en fait la j'ai que l'abscisse, je crois que je vais essayer avec y=f'(x0)(x-x0)+f(x0), mais la je dois aller manger, j'essayerai apres ^^

Et la question 2)a) est bien "Déterminer l'équation reduite de la tangente D à H au point d'abscisse x0."

yoshi · 01-04-2007 12:35:07

Bonjour,

Au temps pour moi (et oui, ce n'est pas "autant" !), je n'avais pas prêté garde au domaine de définition, donc la réponse à ta question est : non. Puisque x1 et x2 sont tous deux positifs... Pas de "blème" !

Oui la formule de l'équation réduite est bien celle qu'il faut employer...

@+

PS
Pour faire plus "zouli'", tu peux forcer un espace avec Latex par le code \;
Après relecture de l'ensemble de tes posts, me vient une question : le x0 abscisse du point où il faut calculer l'équation de la tangente D à la courbe H, c'est quel x0, celui de la 1ere question, celui du point de la courbe (comme dans le 1.) où la tangente D est parallèle à la droite (AB) ? Ce que tendrait à montrer ton calcul : mais ce n'est pas précisé dans ta formulation de la question 2 a), mais c'est pô grave !

Gagaro · 01-04-2007 13:04:30

Je le savais deja pour au temps, j'ai vu sa sur "ouverture facile" (si tu connais, sinon => http://www.ouverture-facile.com/, exellent site d'énigme, j'étais arriver énigme 83 puis j'ai du formater mon ordi et j'ai oublier de récupérer le lien de l'énigme, donc j'ai abandonner...)

Merci pour le tuyau, et pour placer une \ sa doit etre \\ non ? ;)

la question 2)b) : Déterminer les coordonnées des points B et C d'intersection de D avec les axes de coordonnées. Prouver que le point A est le milieu du segment [BC] et que l'aire du triangle OBC est indépendante du point A

et pour la 2)a) ce que j'ai trouver :

[tex]y=h'(x_0)(x-x_0)+h(x_0)[/tex]

=> [tex]y=\frac{-a}{x_0^2}(x-x_0)+\frac{a}{x_0}[/tex]

=> [tex]y=\frac{-ax+ax_0}{x_0^2}+\frac{ax_0}{x_0^2}[/tex]

=> [tex]y=\frac{-ax+2ax_0}{x_0^2}[/tex]

=> [tex]y=\frac{-ax}{x_0^2}+\frac{2a}{x_0}[/tex]

Là je vois plus comment simplifier, mais pour la question 2)c) il demande de tracer et il donne a et x0, donc sa doit etre sa :)

et pour la b) je fais :

[tex]y=\frac{-ax}{x_0^2}+\frac{2a}{x_0}[/tex]

=> [tex]\frac{-ax}{x_0^2}+\frac{2a}{x_0}=0[/tex]

=> [tex]\frac{-ax}{x_0^2}=\frac{-2a}{x_0}[/tex]

=> [tex]-ax =\frac{-2ax_0^2}{x_0}[/tex]

=> [tex]x=\frac{2x_0^2}{x_0}[/tex]

Mais sa me donne que pour l'axe des abscisse non ?

[EDIT] encore un probleme avec LaTeX, il me donne 2 fois le meme calcul

Les question 1 et 2 sont indépendante mais dans le meme exercice ;)

Dernière modification par Gagaro (01-04-2007 14:42:41)

yoshi · 01-04-2007 13:25:42

Bonjour,

Tu savais ? Bravo ! Mais je l'ai lancé à la cantonnade car 99,9% des fois l'écriture est incorrecte : moi, je ne fais plus la faute que de puis un an ou deux...

Bon, revenons à nos moutons
Je présume que B est sur l'axe des abscisses et C sur celui des ordonnées, vu la formulation de la question et l'ordre dans lequel on cite les axes d'habitude.
Donc tu as trouvé :
[tex]C(2x_0\;;\;0)[/tex]
Oui, tu pouvais simplifier ton résultat !
Pour B , tu remplaces x par 0 dans l'équation et ça donne :
[tex]B(0\;;\;{2a \over x_0})[/tex]
A ce stade, je suis complètement paumé dans ton énoncé... Quelles sont les coordonnées de ce point A ? les as-tu calculées, te les a-t-on donné"es ?
En tout état de cause, elles devraient donc être logiquement :
[tex]A(x_0\;;\;{a \over x0})[/tex]

encore un probleme avec LaTeX, il me donne 2 fois le meme calcul

Que veux-tu dire par là ?

@+

PS Les seules "ouvertures" que je connaisse, à part celles des portes et des fenêtres (voire des g...), sont celles des EChecs.. :D

L'aire d'un tr. rect. se calcule aussi par (côté angle droit) x (côté angle droit)/2... A partir de là, la question c) est évidente...

Gagaro · 01-04-2007 14:00:56

Merci, mais moi aussi je croyais que sa s'ecrivait comme sa ^^ (d'ailleur l'enigme avec au temps pour moi c'est justement de retrouver la bonne orthographe de l'expression :) ) (et en plus sa m'a donner envie de rejouer en 5 min je suis deja retourner enigme 18 ^^)

Ha oui j'avais pas fait gaffe, encore une erreur d'étourderie :s

Et j'avais pas penser a remplacer x par 0 -_-

En tous cas merci déjà pour cette partie :)

mais par contre sa serait pas l'inverse ?

[tex]B(2x_0\;;\;0)[/tex]

[tex]C(0\;;\;{2a \over x_0})[/tex]

pour le point A on a que son abscisse qui est x0, donc il faudrait prouver que sont ordonne est [tex]\frac{a}{x_0}[/tex]

Donc pour sa je pense que calculer le milieu de [BC] devrait suffire, donc si je me souviens bien :

[tex]x_A=\frac{x_C-x_B}{2}=-x_0[/tex] mais là sa me donne un resultat negatif

[tex]y_A=\frac{y_C-y_B}{2}=\frac{a}{x_0}[/tex]

donc je pense que c'est sa, mais par contre y'a toujours le resultat negatif...

et pour la suite de la question b)

[tex]O(0\;;\;0)[/tex]

Aire de OBC = [tex]\frac{[OB]\times[OC]}{2}[/tex]
[tex]=\frac{2x_0\times \frac{2a}{x_0}}{2}[/tex]
[tex]=\frac{2x_0}{2} \times \frac{2a}{2x_0}[/tex]
[tex]=x_0 \times \frac{a}{x_0}[/tex]
[tex]= a[/tex]

=> L'aire de OBC est égale à a

Pour le problème avec LaTeX :

=> [tex]\frac{-ax}{x_0^2}=\frac{-2a}{x_0}[/tex]

=> [tex]-ax =\frac{-2ax_0^2}{x_0}[/tex]

et pourtant les codes sont différends :

=> \frac{-ax}{x_0^2}=\frac{-2a}{x_0}

=> -ax=\frac{-2ax_0^2}{x_0}

Halala, sa fait très longtemps que j'ai pas jouer aux echecs ^^ Mais avant j'y jouer beaucoup ;)

Dernière modification par Gagaro (01-04-2007 14:43:22)

yoshi · 01-04-2007 14:27:22

Salut,

Exact ! intervertis les coordonnées...

Pour ton pb avec LaTex, ça le fait chez moi aussi, rajoute un espace après -ax...

Non, tu te souviens pas bien : l'abscisse (ou l'ordonnée) du milieu d'un segment est la demi-somme des abscisses (ou des ordonnées)...
Pour t'en souvenir, un truc : 4 est au milieu entre 3 et 5 et si (3+5)/2 = 4, par contre (3 -5)/2 po (5 -3 3)/2 ne collent pas !

Bon, où l'énoncé dit-il qu'est ce point A dont on doit montrer qu'il est le milieu de [BC] ?
Je pense donc qu'il est dit que A est le point de tangence à la courbe et d'abscisse x0, son ordonnée est donc bien a/x0...
Après tu calcules les demi-sommes et tu retombes sur ces coordonnées, donc c'est bien le même point, CQFD...

@+

PS
La partie la plus courte que j'aie jamais gagné (de mémoire, et donc "à l'aveugle") :
1. e4 e5 2. Cf3 d6 3. d4 f5 4. d4 x e5 f5 x e4 5. Cf3-g5 h6 6. Dh5+ Rd7 7. e5-e6+ Rc6 8. Cg5-f7 Df6 9. Db5 mat

Gagaro · 01-04-2007 14:49:45

C'est bon c'est corrigé ^^

Et encore une formule, maintenant va falloir que je m'en rappelle ^^

Ok donc j'ai fini cette exercice :p Merci beaucoup, mais il m'en reste encore un :(, malheureusement la je dois y aller, je reviens en soirée et au vu de l'exercice je le trouve plus complique que celui la, donc je pense que j'aurais besoin d'aide aussi ^^

Et j'essayerai de refaire la partie d'echec, je verrais ce qeu sa donne ;) Moi je me rappelle plus de mes partis, sa fait trop longtemps que j'en ai fait :(

@++, je pense revenir vers 18h au plus tards, j'essaye de faire mon autre exo et si j'y arrive pas je demanderai de l'aide, merci ;)

Gagaro · 01-04-2007 16:35:22

Salut,

1ere question de l'exercice je bloque déjà :s

Soit f une fonction définie sur l'intervalle [-1;1] par : [tex]f(x) = \sqrt{1-x^2}[/tex]
Prouver que la courbe représentative de f par rapport au repère orthonormal (O;i;j)du plan est un demi-cercle qu'on caractérisera et qu'on notera C.

Je connais pas du tous la methode a utiliser pour demontrer sa, mais j'ai quands meme dérivé la fonction :

[tex]f(x)=\sqrt{1-x^2}[/tex]
[tex]f'(x)=\frac{-1}{2\sqrt{1-x^2}}[/tex]

Dernière modification par Gagaro (01-04-2007 16:35:39)

yoshi · 01-04-2007 18:12:04

Bonsoir,

J'ignore ce que tu sais du cercle et de sa formule...
L'équation réduite d'un cercle de cetre O et de rayon R est :
[tex]x^2+y^2=R^2[/tex]
Au delà, il faut revenir (c'est toujours un bon plan, dans tous les cas) à la définition, ici celle du cercle vue en.. 6e :-)
On appelle cercle de centre O et de rayon R, l'ensemble des points M du plan tels que OM = R.
Mais si OM = R, alors OM² = R², s'pas ?

Ici tu n'as prendre un point M de coordonnées (a ; b) et de calculer OM² et tu verras que OM² est constant...
En outre la racine carrée est toujours positive, tu n'as donc qu'une moitié de cercle, celle qui est au dessus de l'axe des x !!

Voilà, j'attends la suite... Ca ce n'était que le hors d'oeuvre, une mise en bouche quoi !

@+

Gagaro · 01-04-2007 18:40:47

Euh... J'ai un peu de mal a tous comprendre la, je prends un point M de C de coordonnées (a ; b) et je calcule OM puis je le compare a R² ?

Et la formule pour calculer une distance c'est bien [tex]OM=\sqrt{(x_M-x_O)^2 + (y_M-y_O)^2}[/tex] ? J'ai un peu de mal a m'en rappeler et y'a rien dans mon livre de math la dessus.

Merci

yoshi · 01-04-2007 18:54:13

Bonsoir,

J'ai ma connexion qui déconne, elle met 3 plombes à m'afficher les formules...
Oui c'est la bonne formule...
Non, tu ne compare avec R²...
Tu vas calculer a²+b² et tu vas tomber sur a²+b² = 1, ce qui prouve bien que la distance de O à M est constante et vaut 1 --> donc cercle.
Mais comme on t'a donné une racine, par définition la racine carrée d'un nombre est toujours positive...
Donc comme
[tex]b = sqrt{1 - a^2}[/tex]
b est positif, tu n'auras pas de morceau de cercle en dessous de l'axe des x puisque dans ce cas b<0.
C'est plus clair maintenant ?

A te lire

Gagaro · 01-04-2007 19:37:45

Salut,

Moi aussi sa me le faisait, mais maintenant sa marche mieux.

Je comprends un peu mieux mais pas encore tout...

J'ai fait :

[tex]OM=\sqrt{(x_M-x_O)^2 + (y_M-y_O)^2}[/tex]
=> [tex]OM=\sqrt{a^2 + b^2}[/tex]
=> [tex]OM^2=a^2 + b^2[/tex]

Mais apres je vois pas comment trouver 1, je dois faire OM²=R²=1 ?
Ou alors faut remplacer a et b.

@++

yoshi · 01-04-2007 19:42:07

Bonsoir,

Il faut évidemment prendre un point M de ta courbe et utiliser la formule donnée :
[tex]y=sqrt{1-x^2}[/tex]

REste en ligne,

on gagnera du temps...

[EDIT]
Bon, comme tu ne revenais pas, j'ai relu tes posts de ce soir et j'ai le regret de te dire que ta dérivée est fausse...
En effet
[tex](sqrt U)'= (U^{1 \over 2})'= {1 \over 2}U'U^{-{1 \over 2}}[/tex]
Ou encore avec :
[tex]U = 1 - x^2\;et\;U'= -2x[/tex]
on obtient :
[tex]f'(x)=\frac{-2x} {2 sqrt{1 - x^2}}[/tex]
Soit enfin
[tex]f'(x)=-\frac{x}{sqrt {1 - x^2}}[/tex]
Je ne sais pas si ça va te servir, mais comme je ne reviendrai que demain matin, je fais ça à tout hasard...
Pis ça te fait pas de mal...

Gagaro · 01-04-2007 21:08:19

Bonsoir,

Désolé de ne pas etre revenu plus tôt mais j'ai du aller manger.

effectivement j'avais pas verifier ma derivation, je sais pas si sa va me servir mais sa fait pas de mal de la faire ^^
Moi j'ai fait [tex]g(x)=\sqrt{x}[/tex] puis la fonction de dérivation de fonction mais apperement je me suis trompé :(, et je me rappelais plus de [tex](sqrt U)'= (U^{1 \over 2})'= {1 \over 2}U'U^{-{1 \over 2}}[/tex], et je prefere faire comme sa :p

[tex]y=\sqrt{1-x^2}[/tex]

=> [tex]y^2=1-x^2[/tex]

=> [tex]y^2+x^2=1[/tex]

Et voila, en expliquant qu'une racine carre est toujours positif j'ai la solution, sa aura était dur mais j'ai fini par comprendre, merci beaucoup ^^

Question 2 maintenant.

2°)a) Déterminer le coeff directeur de la droite (OM) où M est le point d'abscisse [tex]\alpha[/tex], [tex]\alpha[/tex] différends de -1, 0 et de 1.
b) Quel est le coeff directeur de toute droit perpendiculaire à (OM) ?
c) Utiliser 2°)b) pour determiner l'expression de f'(x) en fonction de x (finalement on la calcule là la dérivé ^^)

a) coeff directeur de (OM) = [tex]\frac{f(x_M)-f(x_O)}{x_M-x_O} = \frac{\sqrt{1-x_M^2}-\sqrt{1-x_O^2}}{x_M-x_O}[/tex]

Apres je sais pas comment c'est possible de simplifier, j'ai jamais compris comment manipuler les racine carré (si je peux faire [tex]\sqrt{1-x_M^2}=\sqrt{1}-\sqrt{x_M^2}= 1 - x_M^2[/tex] ou alors si je dois laisser comme sa, merci de m'aider ^^

Bonne soiré, bonne nuit, et a demain donc ;)

yoshi · 02-04-2007 07:30:52

Bonjour,

Ouf ! Soulagé, tu ne t'y e"s donc pas prois à la dernière minute...

1. Content que tu aimes ma méthode de dérivation. Lycéen, j'étais trop feignant (et je trouvais ça concon aussi) pour apprendre TOUTES mes formules par coeur, mais il me fallait pourtant les savoir (pas de formulaire lors de mon Bac !). J'avais donc développé des tas d'astuces pour ce faire.
Et ça, c'en est une : je traite TOUTES les puissances avec.
Par exemple :
[tex]\left(\frac{1}{x^2}\right)'=(x^{-2})'\;ou\;encore\;\left(\frac{1}{sqrt{1-x^2}}\right)'=\left((1-x^2)^{-{1 \over 2}}\right)'[/tex]

2. CE que tu as fait est juste, mais si ce n'est pas "dans l'esprit" de ce que j'ai suggéré et ce pour quoi j'avais donné des coordonnées a et b
je pose x =a, j'ai donc :
[tex]x^2=a^2\;et\;y^2=b^2=1-a^2[/tex]
Je calcule maintenant la longueur OM :
[tex]OM^2=a^2+b^2=a^2+1-a^2=1[/tex]
D'où OM = 1...

3. Ouh la ! Fâché avec les racines aussi !
Prends :
[tex]sqrt{9+16}=sqrt 25 =5\;mais\;sqrt 9 + sqrt 16=3+4 =7[/tex]
IL n'y a besoin que de très peu de mots pour expliquer ça, 3 en fait : priorité des opérations
La racine carrée est une puissance et :
- En l'absence de parenthèses, la priorité (descendante est) puissances, mult. ou divis., add. ou soustr.
- Toutes les opérations entre parenthèses sont prioritaires sur les autres, mais dans une parenthèse la priorité naturelle s'applique de nouveau...
C'était un épisode de la série "y a pas de mal à se faire du bien"...

4. J'en arrive à ton problème :
a) coeff directeur de (OM) = [tex]\frac{f(x_M)-f(x_O)}{x_M-x_O} = \frac{\sqrt{1-x_M^2}-\sqrt{1-x_O^2}}{x_M-x_O}[/tex]
Oui, mais les coordonnées de O sont O(0 ; 0), donc ça devient :
coeff directeur de (OM) = [tex]\frac{f(x_M)-0}{x_M-0} = \frac{\sqrt{1-x_M^2}}{x_M}[/tex]
et puisque ton abscisse vaut a :
coeff directeur de (OM) = [tex]\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}[/tex]
Rien à en tirer de plus...
b) Lorsque deux droites sont perpendiculaires le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1.
coeff dir = [tex]{-\frac{a}{sqrt{1-a^2}}}[/tex]
c) Et non, finalement, on ne la calcule pas cette dérivée :D... on la retrouve !
Le coefficient directeur de la tangente au point M(x ; y) du cercle, c'est la valeur de la dérivée en ce point...
Et comme on t'a fait calculer ce fameux coefficient directeur...

@+

Dernière modification par yoshi (02-04-2007 11:46:08)

Gagaro · 02-04-2007 17:27:52

Salut,

Pfiou, enfin rentrer de cours ^^

Non je m'y prends rarement a la derniere minute, ou alors c'est que j'ai pas le chois.

Effectivement ta méthode avec les puissance simplifie vraiment, sa m'aidera beaucoup je pense, merci ;)

2) Effectivement c'est meme plus comprehensible par cette methode ;) je prends note

3) Je n'avais jamais vu la raine carre comme une puissance avant, y'a 2 mois je savais même pas que [tex]\sqrt{x}=x^{1 \over 2}[/tex] alors bon... Encore un truc qui va me servir ^^

4) J'avais même pas fait gaffe a O(0;0), besoin de repos moi...

b) Je crois que j'aurai jamais trouver tous seul que le coeff directeur de 2 droite perpendiculaire était égale à -1 o_O

c) Exact, mais au moin comme sa on est sur que la derivé est bonne ^^

On en arrive donc a la 3eme (et derniere :D)question !

3°) Soit a et b deux nombre reels, a étant de plus non nul. Déduire du résultat precedent, la formule donnant la dérivée de la fonction g définie par :
[tex]g(x)=\sqrt{-a^2x^2 + 2abx + 1 - b^2}[/tex]
Quands cette dérive existe, on montrera que l'expression sous le radical peut s'ecrire comme difference entre 1 et un carre.

Je pensais a faire sa, mais je sais pas si c'est correct (je pense que sa doit etre plus complique...) :

[tex]g(x)=\sqrt{-a^2x^2 + 2abx + 1 - b^2}[/tex]

[tex]g'(x)=-\frac{b}{\sqrt{-a^2x^2 + 2abx + 1 - b^2}}[/tex]

merci et @++

EDIT : en reflechissant je pense qu'il faudrai remplacer le b par x, mais je suis toujours pas sur...

[tex]g'(x)=-\frac{x}{\sqrt{-a^2x^2 + 2abx + 1 - b^2}}[/tex]

Dernière modification par Gagaro (02-04-2007 17:46:08)

yoshi · 02-04-2007 17:48:19

B'soir,

Gagaro, prends ton temps... Tu vas trop vite ! T'as pas encore compris qu'un pb de Maths n'est rien d'autre qu'un remake du conte "Le Petit Poucet" ?
Cherche donc les cailloux dont ton chemin mathématique est jalonné au lieu de sauter sur la première idée venue, la pauvre ! :-))

Ton texte dit :
Déduire du résultat précédent donc premier réflexe à avoir, se poser la
Question (1): C'était quoi déjà le résultat précédent ?
Réponse : [tex]f(x)=sqrt{1-x^2}\;et\;f'(x)=-\frac{x}{sqrt{1-x^2}}[/tex]

Question (2) : Que dit la suite ?
Réponse : on montrera que l'expression sous le radical peut s'écrire comme différence entre 1 et un carre...

Ca t'inspire quoi ?
Question (3) : Quel rapport entre (Réponse 1) et Réponse (2)

@+

PS non, ta dérivée est fausse : y a pas d'x en haut chez toi, donc pas conforme à la réponse (1)
[EDIT]
Ta modif a été postée un poil avant la mienne, donc l'histoire du x tombe à plat...
Ceci dit ta dérivée est fausse quand même...
Ceci dit, si je suis bêtement la question posée ma dérivée aussi est fausse (je l'ai calculée autrement), je suis en train de chercher pourquoi...

Dernière modification par yoshi (02-04-2007 18:22:00)

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