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Anonyme007

Invité

Application linéaire

Salut à tous,

J'aimerais que vous m'aidiez à résoudre le problème suivant, ou au moins me proposer des pistes pour m'aider :

Soit [tex] A \in \mathcal{M}_n ( \mathbb{Q} ) [/tex]. Pour : [tex] K = \mathbb{Q} , \mathbb{R} [/tex] ou [tex] \mathbb{C} [/tex], notons : [tex] f_K : K^n \to K^n [/tex] l'application linéaire de matrice [tex] A [/tex].
- Démontrer que : [tex] \mathrm{ker} f_{\mathbb{R}} = \overline{ \mathrm{ker} f_{ \mathbb{Q} } } [/tex] et : [tex] \mathrm{ker} f_{ \mathbb{C} } = \{ \ x+iy \ | \ x,y \in \mathrm{ker} f_{ \mathbb{R} } \ \} [/tex].
- Démontrer que : [tex] \mathrm{im} f_{\mathbb{R}} = \overline{ \mathrm{im} f_{ \mathbb{Q} } } [/tex] et : [tex] \mathrm{im} f_{ \mathbb{C} } = \{ \ x+iy \ | \ x,y \in \mathrm{im} f_{ \mathbb{R} } \ \} [/tex].
Soient [tex] A,B \in \mathcal{M}_n ( \mathbb{Q} ) [/tex].
Posons : [tex] E_{ \mathbb{Q} } = \{ \ M \in \mathcal{M}_n ( \mathbb{Q} ) \ | \ AM = MB \ \} [/tex] et [tex] E_{ \mathbb{R} } = \{ \ M \in \mathcal{M}_n ( \mathbb{R} ) \ | \ AM = MB \ \} [/tex] et [tex] E_{ \mathbb{C} } = \{ \ M \in \mathcal{M}_n ( \mathbb{C} ) \ | \ AM = MB \ \} [/tex]
- Démontrer que : [tex] E_{ \mathbb{Q} } [/tex] est dense dans [tex] E_{ \mathbb{R} } [/tex] et que : [tex] E_{ \mathbb{C} } = \{ \ M+iN \ | \ M,N \in E_{ \mathbb{R} } \ \} [/tex]
- En déduire que [tex] A [/tex] et [tex] B [/tex] sont semblables sur [tex] \mathbb{Q} [/tex] si et seulement si elles le sont sur [tex] \mathbb{C} [/tex].

Merci d'avance à tous.

Anonyme007

Invité

Re : Application linéaire

Salut :

Voici comment on m'a répondu ailleurs :
Pour la première question :
[tex] A [/tex] est la matrice correspondante à l'application linéaire : [tex] f_K : K^n \to K^n [/tex].
Posons : [tex] r = \mathrm{rg} A [/tex] :
Il existe alors des matrices : [tex] P,Q \in GL_n ( \mathbb{Q} ) [/tex] telles que : [tex] PAQ = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0_{n-r} \end{pmatrix} [/tex] de sorte que : [tex] \mathrm{ker} f_K = \{ \ Q^{-1} X \ | \ X = ( 0, Z ) \in K^r \times K^{n-r} \ \} [/tex] et [tex] \mathrm{im} f_K = \{ \ P X \ | \ X = ( Y, 0 ) \in K^r \times K^{n-r} \ \} [/tex]
Pouvez vous m'expliquer pourquoi : [tex] \mathrm{ker} f_K = \{ \ Q^{-1} X \ | \ X = ( 0, Z ) \in K^r \times K^{n-r} \ \} [/tex] et [tex] \mathrm{im} f_K = \{ \ P X \ | \ X = ( Y, 0 ) \in K^r \times K^{n-r} \ \} [/tex] ?

Merci d'avance.

Fred

Administrateur

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Re : Application linéaire

Salut,

  Pourquoi tu ne demandes pas à ceux qui t'ont répondu "par ailleurs". Je n'ai pas envie de faire une recherche google, mais le cross-posting est une pratique que l'on n'apprécie guère ici.

Tu cherches les [tex]X[/tex] tels que [tex]AX=0[/tex]. Puis [tex]P[/tex] est inversible, cela revient à résoudre [tex]PAX=0[/tex]. Mais tu sais que [tex]PA=Q^{-1}\left(\begin{array}{cc}I_r&0\\0&0\end{array}\right)[/tex] et tu devrais pouvoir conclure.

Fred.

Anonyme007

Invité

Re : Application linéaire

Pardonnez moi, je ne voulais pas vous mettre en colère Fred. ça ne se reproduira pas dorénavant.
Merci de m'avoir aider.

Anonyme007

Invité

Re : Application linéaire

Salut :

Je n'arrive pas à établir que : [tex] \mathrm{im} f_K = \{ \ P X \ | \ X = ( Y, 0 ) \in K^r \times K^{n-r} \ \} [/tex].
Pouvez vous m'aider svp ?

Merci d'avance.

Fred

Administrateur

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Re : Application linéaire

Re,

  C'est plus ou moins le même raisonnement. Si je note [tex]J=\left(\begin{array}{cc}I_r&0\\0&0\end{array}\right)[/tex], alors
[tex]\textrm{Im}_K f=\{AX;\ X\in K^n\}=\{PJQ^{-1}X;\ X\in K^n\}=\{PJ X;\ X\in K^n\}[/tex]
car [tex]Q[/tex] est inversible, et donc [tex]\{QX;\ X\in K^n\}=K^n[/tex].

F.