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Stabilité d'un sous epace

Bonjour;
J'ai trouvé dans un exercice: ''puisque w est un polynôme en u alors Ker(u-2Id) est stable par w''?
S'il vous plait ma question est: ker(u- λId) est-il stable par tout polynôme en u?? pourkoi pourquoi ??

J'ai bien réfléchi j'ai trouvé que par exemple que pour x de  ker(u-2Id) on a  u(u(x))=u(2x)=2u(x)=4x donc u(u(x)) est un polynôme en u, mais ker(u-2Id) n'est pas stable par uou. ce qui n'est pas juste d'après l'exo pourquoi???

Merci d'avance.

Dernière modification par yoshi (04-11-2015 19:15:54)

Fred

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Messages : 7 352

Re : Stabilité d'un sous epace

Salut,

  Je ne comprends pas en quoi ta preuve dit que ker(u-2Id) n'est pas stable par uou.
Il l'est! Parce que tout polynôme en u commute avec u, ie si w=P(u),
alors [tex] w\circ u =u\circ w[/tex].
Et si [tex]x\in \ker(u-\lambda I)[/tex], [tex]u(x)=\lambda x[/tex], alors [tex] u(w(x))=w(u(x))=w(\lambda x)=\lambda w(x)[/tex]
et donc [tex]w(x)\in \ker(u-\lambda I)[/tex].

F.