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Marie207

Invité

Nombres complexes et entiers

Bonjour,

1/ Le plan est rapporté à un repère (O;u;v) orthonormé.
On donne A et B les points d'affixes respectifs 1+i et -4-i.
A tout point M d'affixe z, on associe le point M', d'affixe z', tel que OM'=2AM+BM (ce sont des vecteurs)
a) Exprimer z' en fonction de z.
J'ai obtenu : z'=3z-i+2.

b) Prouver qu'il existe un unique point I confondu avec son image.
I(-1;1/2)

c) Prouver que I,M et M' sont alignés :
Je pensais calculer les coefficients directeurs et les comparer...

d) Déterminer la partie réelle x' et la partie imaginaire y' de z'.
Je ne suis pas sûre de ma réponse :
a'i+b'=3ia-i+3b+2
0=3ia-a'i-b'-i+3b+2
i(3a-a'-1)-b'+3b+2=0
Partie imaginaire : 3a-a'-1
Partie réelle= -b'+3b+2

2)Justifier que la somme et la différence de deux entiers quelconques n et p ont même parité.
ma réponse : Si on a n=2k c'est donc un nombre pair
Et si on a p=2k'+1 c'est donc un nombre impair
donc si on additionne n avec p on obtient un nombre impair car n+p=2k+2k'+1 soit n+p=2(k+k')+1
Donc la somme (ou la soustraction ) d'un pair avec un impair donne un impair.
De la même façon, je trouve que la somme d'un pair avec un pair est un pair et que la somme d'un impair avec impair est un pair.

3) On note (x:y) les coordonnées de M et (x';y') celles de M'.
On considère l'ensemble H des entiers de 1 à 8 et on ne considère que les points M dont les deux coordonnées x et y appartiennent à H.
a) Déterminer un encadrement de x' et un encadrement de y'.
b) Prouver que x'-y' est un multiple de 3.

4)On se propose de déterminer tous les couples (x';y') avec x' dans X, y' dans Y tels que m=x'²-y'² soit un multiple non nul de 60.
a) Prouver alors que x'-y' est un multiple de 6, mais pas de 30.
b) En déduire alors que x'+y' est un multiple de 10.
c) Déterminer au moins trois couples (x';y') qui conviennent ainsi que les (x;y) correspondants.

Je suis bloquée à partir de 1)c) j'essaie vraiment de chercher et de comprendre mais j'ai du mal, je remercie beaucoup d'avance toute aide qu'on me donnera.

Fred

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Re : Nombres complexes et entiers

Salut,

  Voici un coup de main pour la question 1)c).
Tu dois montrer que I,M et M' sont alignés. Tu peux en effet démontrer que les vecteurs [tex]\overrightarrow{IM}[/tex]
et [tex]\overrightarrow{IM'}[/tex] sont colinéaires. Il existe une méthode simple pour faire cela avec des nombres complexes.
Il suffit de démontrer que l'affixe de [tex]\overrightarrow{IM'}[/tex]
est un multiple par une constante réelle de l'affixe de  [tex]\overrightarrow{IM'}[/tex].

Ici, l'affixe de  [tex]\overrightarrow{IM}[/tex] est [tex]z+1-i/2[/tex]. L'affixe de  [tex]\overrightarrow{IM'}[/tex] est [tex]3z-i+2-(-1+i/2)=3z+3-3i/2[/tex]. Je crois qu'on voit facilement le coefficient de proportionnalité!

Je n'ai pas compris ce que tu as voulu faire à la question 1)d) (ni ce que sont a,a',b,b').
Si x et y sont respectivement les parties réelles et imaginaire de z, alors
z'=3(x+iy)-i+2=(3x+2)+i(3y-1)
et on a facilement les parties réelles et imaginaires de z.

Pour la question 3)a), ma réponse précédente te donne x' en fonction de x, donc tu déduis de l'encadrement de x un encadrement de x'...

F.