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#2 24-10-2015 12:29:25
- ymagnyma
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Re : algèbre linéaire imcompréhension
Bonjour Soso.
Regarde bien les coordonnées de [tex]\vec i[/tex] et [tex]\vec j[/tex] dans la base [tex](\vec v_1 ; \vec v_2)[/tex]. en particulier celles de [tex]\vec j[/tex].
Dans ta matrice, tu as du (2 2) en colonne. Ne serait-ce pas plutôt (-2 2) vu que [tex]\vec j=\frac{1}{4}(-2 \vec v_1+2\vec v_2)[/tex] ?
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#3 24-10-2015 12:32:21
- ymagnyma
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Re : algèbre linéaire imcompréhension
p.s. à défaut de LateX, je n'arrive pas à m'y mettre non plus, et quitte à faire de la copie d'écran, tu peux utiliser Dmaths sur libre office ou open office, ça te fera des jolies matrices, des systèmes au poils aussi. Mais bon, ce que tu as écrit à la souri, c'est bien aussi.
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#4 24-10-2015 12:33:17
- yoshi
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Re : algèbre linéaire imcompréhension
Bonjour,
[tex]\begin{cases}\overrightarrow{v_1}=-2\vec i + \vec j\\\overrightarrow{v_2}=2\vec i + \vec j\end{cases}[/tex]
J'additionne membre à membre :
[tex]\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}=2\vec j[/tex]
d'où
[tex]\vec j = \frac 12 (\overrightarrow{v_1}+ \overrightarrow{v_2})[/tex]
Je soustrais membre à membre :
[tex]\overrightarrow{v_1}-\overrightarrow{v_2}=-4\vec i[/tex]
D'où :
[tex]\vec i =-\frac 1 4 (\overrightarrow{v_1}-\overrightarrow{v_2})[/tex]
D'où il ressort qu'il y a une erreur de calcul (étourderie) pour [tex]\vec j[/tex]
@+
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#6 24-10-2015 12:57:08
- yoshi
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Re : algèbre linéaire imcompréhension
Re,
@ymagnyma : Je n'avais pas vu ton post...
Ben Yoshi lui, LateX il connait bien...
Ça demande 1/2 h de mise du pied à l'étrier pour en comprendre l'esprit, après ça va de mieux en mieux...
Mon post précédent sans la balises tex et /tex (lesdites balises s'obtenant par un clic sur le 1er icône à gauche de la barre d'outils des messages) autour des formules :
Bonjour,
begin{cases}\overrightarrow{v_1}=-2\vec i + \vec j\\ \overrightarrow{v_2}=2\vec i + \vec j end{cases}
J'additionne membre à membre :
\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}=2\vec j
d'où
\vec j = \frac {1}{2} (\overrightarrow{v_1}+ \overrightarrow{v_2})Je soustrais membre à membre :
\overrightarrow{v_1}-\overrightarrow{v_2}=-4\vec i
D'où :
\vec i =-\frac {1}{4} (\overrightarrow{v_1}-\overrightarrow{v_2})D'où il ressort qu'il y a une erreur de calcul (étourderie) pour \vec j
@+
[tex]\begin{pmatrix} -1 & 2 \\1 & 2\end{pmatrix}[/tex]
s'obtient via :
begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 2 end{pmatrix}
N-B :il devrait y avoir un \ devant begin et un autre devant end
Bien que je n'entoure par la formule par les balises qui vont bien, si je mets les \ que j'ai supprimées, l'interpréteur m'écrit un système quand même...
Même chose pour la matrice...
@+
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#8 24-10-2015 14:24:18
- yoshi
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- Messages : 17 385
Re : algèbre linéaire imcompréhension
Re,
Tout d'abord une remarque, ce que j'ai noté [tex]\overrightarrow{v_1}[/tex] et [tex]\overrightarrow{v_2}[/tex] sur la foi de tes écritures sont en fait dans l'énoncé [tex]\overrightarrow{u_1}[/tex] et [tex]\overrightarrow{u_2}[/tex], c'est un détail sans importance concernant tes préoccupations, mais quand même...
L'énoncé considère un vecteur [tex]\vec v[/tex] sont les coordonnées dans l'ancienne base [tex](\vec i\;;\;\vec j)[/tex] sont [tex](x\;;\;y)[/tex].
Il demande d'écrire les coordonnées [tex](x'\;;\;y')[/tex] de [tex]\vec v[/tex] dans la nouvelle base [tex](\overrightarrow{u_1}\;;\; \overrightarrow{u_2})[/tex].
Avec [tex]P=\begin{pmatrix}-2 & 2\\1 & 1\end{pmatrix}[/tex]
Voilà pour l'énoncé qu'il suffit de relire...
Sur la base de ce que tu écris, j'écrirais moi :
[tex]P^{-1}=\frac 1 4\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 1 & 2\end{pmatrix}[/tex]
[tex]\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\frac 1 4\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}[/tex]
Là, je marche sur des œufs, parce que lorsque j'étais en activité, ça ne figurait pas à mon ordinaire, autant dire que mes souvenirs datent...
Même si, je peux me passer de matrice de ... passage.
[tex]\vec v=x\vec i + y\vec j=x\left(-\frac 1 4 \overrightarrow{u_1}+\frac 1 4 \overrightarrow{u_2}\right)+y\left(\frac 1 2 \overrightarrow{u_1}+\frac 1 2 \overrightarrow{u_2}\right) [/tex]
[tex]\Leftrightarrow \vec v=-\frac 1 4 x\overrightarrow{u_1}+\frac 1 2 y\overrightarrow{u_1}+\frac 1 4 x\overrightarrow{u_2}+\frac 1 2 y \overrightarrow{u_2}=\left(-\frac 1 4 x+\frac 1 2 y\right)\overrightarrow{u_1}+\left(\frac 1 4 x+\frac 1 2 y\right) \overrightarrow{u_2}[/tex]
Avec [tex]\vec v = x'\overrightarrow{u_1}+y'\overrightarrow{u_2}[/tex]
suivi d'Identification et je retombe sur mes pieds...
@+
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#9 24-10-2015 18:43:15
- soso
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- Messages : 158
Re : algèbre linéaire imcompréhension
Bonsoir, merci pour votre réponse
mais comment sait on, avec la matrice de passage , que [tex]\vec i[/tex]=[tex]\left(-\frac 1 4 \overrightarrow{u_1}+\frac 1 4 \overrightarrow{u_2}\right)[/tex]. Et pareil pour [tex]\vec j[/tex]?
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#10 24-10-2015 19:55:47
- yoshi
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Re : algèbre linéaire imcompréhension
Bonsoir,
[tex]B = (\vec i,\vec j)[/tex] et [tex]B'=(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2})[/tex] sont 2 bases de [tex]\mathbb{R}^2[/tex].
B est la base canoniqueD'après ton énoncé la matrice P de passage de B à B' s'écrit avec les vecteurs colonnes [tex]\overrightarrow{u_1}=\begin{pmatrix}-2\\ 1\end{pmatrix}[/tex] et [tex]\overrightarrow{u_2}=\begin{pmatrix}2\\ 1\end{pmatrix}[/tex]
Tu vois bien que l'énoncé dit
* [tex]\overrightarrow{u_2}=(-2,1)[/tex] qui s'écrit aussi [tex]\overrightarrow{u_1}=-2\vec i + \vec j[/tex] qui est équivalent à [tex]\overrightarrow{u_1}=\begin{pmatrix}-2 \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]
* [tex]\overrightarrow{u_2}=(2,1)[/tex] qui s'écrit aussi [tex]\overrightarrow{u_1}=2\vec i + \vec j[/tex] qui est équivalent à [tex]\overrightarrow{u_2}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]
Voilà pour [tex]P =\begin{pmatrix}-2 & 2\\ 1 & 1\end{pmatrix}[/tex]
On te demande là, la matrice de passage de B' à B, qui est, elle, [tex]P^{-1}[/tex]
Et [tex]P^{-1}=\frac 1 4\begin{pmatrix}-1 & 2\\ 1 & 2\end{pmatrix}[/tex]
Alors dans la base B' les vecteurs [tex]\vec i[/tex] et [tex] \vec j[/tex] s'écrivent donc :
[tex]\vec i =\frac 1 4\begin{pmatrix}-1\\ 1 \end{pmatrix}=-\frac 1 4 \overrightarrow{u_1}+\frac 1 4 \overrightarrow{u_2}[/tex]
et
[tex]\vec j =\frac 1 4\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}=\frac 1 2 \overrightarrow{u_1}+\frac 1 2 \overrightarrow{u_2}[/tex]
Ça te va ?
@+
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#14 25-10-2015 12:16:05
- yoshi
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Re : algèbre linéaire imcompréhension
Salut,
Que dit le cours ?
Adapté à ton cas, il dit ceci
un système de vecteurs [tex]\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v_3}[/tex] de [tex]\mathbb{R}^3[/tex] est une famille génératrice (ou système générateur) ssi tout vecteur différent des 3 précédents peut s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs [tex]\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v_3}[/tex]...
C'est général, mais ta question l'est aussi.
Ici, si le nombre de vecteurs de la famille est égal à 3, alors famille libre = base : je te renvoie aux ressources de BibMath :
http://www.bibmath.net/ressources/index … finie.html
@+
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#16 25-10-2015 13:18:59
- yoshi
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Re : algèbre linéaire imcompréhension
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