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#1 15-10-2015 21:51:29
- Mouhcine
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Calcul au sens des distributions
Bonsoir à tous, signifie quoi, si on demande de calculer [tex]-f''+z f[/tex] au sens de distribution ?
Est ce qu'on va prendre une fonction [tex]\varphi[/tex] à support compact sur [tex]\mathbb R[/tex] et on calcule [tex]<-f''+z f,\varphi> =?[/tex]
Merci d'avance
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#3 16-10-2015 08:26:30
- Mouhcine
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Re : Calcul au sens des distributions
Bonjour Fred, et si on fait le calcule, on a
[tex]\left<-f''+z f,\varphi \right> = \left< -f'',\varphi \right> + \left< z f,\varphi \right> =\left< f,-\varphi'' \right> + \left< f, z\varphi \right> =\left< f, -\varphi''+z\varphi \right>[/tex]
qui ce qu'on peut conclure donc?
Dernière modification par Mouhcine (16-10-2015 08:27:23)
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#5 16-10-2015 12:17:13
- Mouhcine
- Membre
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Re : Calcul au sens des distributions
Et si on connu l'expression de [tex]f[/tex] donnée par [tex]f(x) = (\pi /\sqrt{z}) \, e^{- \sqrt{z}\vert x\vert}[/tex] , à quoi égale donc [tex]-f''+z f[/tex] au sens de distribution? sachant que [tex]\left<-f''+z f,\varphi \right> =\left< f, -\varphi''+z\varphi \right>[/tex] .
Dernière modification par Mouhcine (16-10-2015 12:21:04)
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#6 16-10-2015 12:43:20
- Fred
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Re : Calcul au sens des distributions
Si on veut aller plus loin il faut couper remplacer f par sa valeur, couper l'intégrale en zéro et faire des intégrations par partie pour se debarraser des dérivées sur [tex]\varphi[/tex]
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#8 16-10-2015 21:15:45
- Anonyme007
- Invité
Re : Calcul au sens des distributions
Salut :
A mon humble avis, ça n'a aucun sens de dire : calculer au sens des distributions [tex] - f'' + z f [/tex], car si cet énoncé avait un sens, il aurait eu aussi un sens, au sens usuel, c'est à dire, calculer au sens usuel [tex] - f'' + z f [/tex]. ce qui n'a aucun sens à mon avis.
Cordialement.
#9 17-10-2015 09:14:09
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
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Re : Calcul au sens des distributions
Tu peux calculer
[tex]\langle f,\varphi''\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\pi}{\sqrt z}e^{-\sqrt z|x|}\varphi''(x)dx=\int_{-\infty}^0\frac{\pi}{\sqrt z}e^{+\sqrt z x}\varphi''(x)dx+\int_0^{+\infty}\frac{\pi}{\sqrt z}e^{-\sqrt zx}\varphi''(x)dx.[/tex]
Dans chaque intégrale, tu peux ensuite faire une double intégration par parties pour remplacer [tex]\varphi''[/tex] par [tex]\varphi[/tex]. En recollant ensuite tout, tu trouveras une fonction [tex]g[/tex] telle que [tex]\langle -zf''+f,\varphi\rangle=\langle g,\varphi\rangle[/tex].
F.
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#10 17-10-2015 10:56:53
- Mouhcine
- Membre
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Re : Calcul au sens des distributions
Bonjour Fred, pour [tex]f(x) = (\pi /\sqrt{z}) \, e^{- \sqrt{z}\vert x\vert}[/tex] et [tex]\varphi[/tex] à support compact sur [tex]\mathbb R[/tex], j'ai fait le calcul, j'ai trouvé
. [tex]\langle f,\varphi''\rangle = -2\pi \varphi(0) + \langle zf,\varphi\rangle [/tex];
Et puisque
[tex]\begin{align}
\langle -f''+z f,\varphi\rangle &= - \langle f'',\varphi\rangle + \langle z f,\varphi\rangle = - \langle f,\varphi ''\rangle + \langle z f,\varphi\rangle\\
&= -\left(-2\pi \varphi(0) + \langle zf,\varphi\rangle \right) + \langle z f,\varphi\rangle = 2\pi \varphi(0) - \langle zf,\varphi\rangle + \langle zf,\varphi \rangle\\
&= 2\pi \varphi(0) = 2\pi \langle {\delta}, \varphi\rangle.
\end{align} [/tex]
Donc au sens de distribution on a [tex] -f''+z f = 2\pi \delta[/tex], où [tex]\delta[/tex] est la distribution de Dirac.
C'est bon ?
Dernière modification par Mouhcine (17-10-2015 11:43:59)
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