Suites

elena · 10-10-2015 19:38:08

Bonjour à tous,

J'ai du mal à faire un exercice, pourrais-je avoir de l'aide svp.
Voici l'énoncé:

La suite (Un) définie par u1: 3/2 et pour tout n supérieur ou égale à 1, Un+1= (n*Un+1)/2(n+1)
On définie une autre suite (Vn) par: pour tout n supérieur ou égale à 1, Vn= nUn-1

1) Montrer que la suite (Vn) est géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
2) En déduire que, pour tout entier naturel n supérieur ou égale à 1, on a Un= (1+(0,5)^n)/n
3) Déterminer la limite de la suite (Un)
4)Justifier que, pour tout entier n supérieur ou égale à 1, on a Un+1-Un= -( 1+(1+0,5n)(0,5)^n)/n(n+1)
En déduire le sens de variation de la suite (Un).

Merci

Terces · 10-10-2015 21:19:45

Salut,
j'ai perdu au moins 1/4 d'heure en croyant que Un₊₁= (n*Un₊₁)/2(n+1) et que Vn= nU_n-1
je sais , c'est peut etre juste pas très malin de ma part mais quand même :o

sinon, pour la question 1) si V_n+1/V_n est un entier alors ta suite est géométrique et a pour raison ce nombre.
Un autre indice, ici la raison est un de ces trois nombres(à toi de trouver la bonne):

*3/4 *1/2 *9/10 à moins que je me sois trompé...

la suite devrait se faire plus facilement avec ca.

elena · 10-10-2015 21:37:12

Lorsque je fais Vn+1/Vn, je bloque à ((n²+n*Un+n)/(2n+2)/(n*Un+1))

Terces · 10-10-2015 22:29:29

Re,
attention, quand tu fais V_n+1/V_n le V_n+1 c'est (n+1)Un-1 et non nUn-1. Tu verras le calcul est assez facile normalement.
A plus ;)

freddy · 11-10-2015 07:44:00

Salut,

le sujet est assez illisible, je ne vais pas prendre le risque de te dire des bêtises.
Si tu veux une aide véritable, code le sous latex (bouton : insérer une équation), il y sera fait suite.
A te (re)lire :-)

elena · 11-10-2015 08:06:18

Donc Vn+1/Vn= (n+1)(Un+1)/(2(n+2)) après je bloque :/

yoshi · 11-10-2015 09:17:22

Bonjour,

Je vais prolonger la question de freddy (puisque Tercès a dû déchiffrer ça).
1. Un+1= (n*Un+1)/2(n+1) ---> [tex]U_{n+1}=\frac{nU_n+1}{2(n+1)}[/tex] OUI/NON ?

2. Vn= nUn-1 --> [tex]V_n=nU_n-1[/tex] OUI/NON ?

3. Un+1-Un= -( 1+(1+0,5n)(0,5)^n)/n(n+1) --> [tex]U_{n+1}-U_n= -\frac{ 1+(1+0,5n)(0,5)^n}{n(n+1)}[/tex] OUI/NON ?

Si tu ne veux pas te servir de Latex
* fais attention aux parenthèses
* utilise la narre d'outils des messages ou figurent les symboles x² (exposants) et x₂ (indices)

Merci d'avance.

@+

Terces · 11-10-2015 09:23:00

Salut,
Vn+1/Vn = (n+1)(Un+1)-1 le tout divisé par n*Un-1
tu remplace Un+1 par (n*Un+1)/2(n+1)
et à la fin tu obtient:
(n*Un -1)/2*(n*Un -1)
soit 1/2.

PS: Yoshi, désolé pour le latex mais je n'avais pas compris qu'il fallait juste cliquer sur "insérer une équation", je croyais que c'était un programme spécial (mon prof de maths se servais d'un logiciel pour écrire et je penses que c'est celui la...) et quand je clique sur "insérer une équation" on me dit que java est obsolète ...

Dernière modification par Terces (11-10-2015 09:27:00)

freddy · 11-10-2015 09:52:49

Salut Terces,

utilise toi aussi svp Latex, ça va devenir illisible ! (et finir par m'énerver).
Il y a un site comme ça, où il n'y a aucune discipline. Conclusion : un vrai boxon :-)

yoshi · 11-10-2015 10:43:58

Cher Tercès,

PS: Yoshi, désolé pour le latex mais je n'avais pas compris qu'il fallait juste cliquer sur "insérer une équation", je croyais que c'était un programme spécial (mon prof de maths se servais d'un logiciel pour écrire et je penses que c'est celui la...) et quand je clique sur "insérer une équation" on me dit que java est obsolète ..

Apparemment tu n'as compris ce que j'ai écrit plusieurs fois.
Pour écrire en Latex :
1. On peut (pas du tout une obligation, comme tu le verras au point 2.) cliquer sur le bouton Insérer une équation qui nécessite effectivement JAVA installé...
2. On peut se passer de cette interface Homme (Femme)/Machine et tout faire à la main (que crois-tu que freddy, tibo et moi - entre autres - faisons ?). N'as-tu donc pas vu ce lien : Code LateX ?
Tu y trouveras tout ce qu'il faut pour te mettre le pied à l'étrier.
Voilà ce que tu as écrit :
Vn+1/Vn = (n+1)(Un+1)-1 le tout divisé par n*Un-1
Même ça, c'est douteux : est-ce [tex] nU_{n-1}[/tex] ou [tex]nU_n-1[/tex] ?
Voilà ce que ça donne en LateX :
\frac{V_{n+1}}{V_n}= \frac{(n+1)(U_n+1)-1}{nU_n-1}
Je sélectionne ma formule puis je clique sur l'icône ^TE^X de la barre des tâches à gauche
[tex ]\frac{V_{n+1}}{V_n}= \frac{(n+1)(U_n+1)-1}{nU_n-1}[ /tex] avec l'espace en moins après [tex ]et avant [ /tex]

Je clique sur aperçu et je vois ça : [tex]\frac{V_{n+1}}{V_n}= \frac{(n+1)(U_n+1)-1}{nU_n-1}[/tex]

Donc, suis le lien, lance-toi : c'est un peu pénible au début, mais on s'y fait très vite... Après, on ne peut plus s'en passer...

@+

elena · 11-10-2015 13:36:00

yoshi a écrit :

Bonjour,
Je vais prolonger la question de freddy (puisque Tercès a dû déchiffrer ça).
1. Un+1= (n*Un+1)/2(n+1) ---> [tex]U_{n+1}=\frac{nU_n+1}{2(n+1)}[/tex] OUI/NON ?
2. Vn= nUn-1 --> [tex]V_n=nU_n-1[/tex] OUI/NON ?
3. Un+1-Un= -( 1+(1+0,5n)(0,5)^n)/n(n+1) --> [tex]U_{n+1}-U_n= -\frac{ 1+(1+0,5n)(0,5)^n}{n(n+1)}[/tex] OUI/NON ?
Si tu ne veux pas te servir de Latex
* fais attention aux parenthèses
* utilise la narre d'outils des messages ou figurent les symboles x² (exposants) et x₂ (indices)
Merci d'avance.

@+

Oui les trois sont exactes

elena · 11-10-2015 17:33:53

Quelqu'un peux m'aider pour la suite svpp

Terces · 11-10-2015 18:09:27

elena a écrit :

Quelqu'un peux m'aider pour la suite svpp

Salut,
As-tu essayé de faire ceci:
[tex]\frac{V_{n+1}}{V_n}= \frac{(n+1)(U_{n+1})-1}{nU_n-1}[/tex]
en remplacant [tex]U_{n+1}[/tex] par son expression en fonction de [tex]U_{n}[/tex] ?

Dernière modification par Terces (11-10-2015 18:11:02)

elena · 11-10-2015 18:40:29

Oui finalement j'ai réussi et j'ai trouver comme raison 1/2 et comme premier terme 1/2.
A présent, il me reste seulement la question 4 qui est très difficile car j'ai réussi à faire la 2 et la 3.

elena · 11-10-2015 19:28:49

S'il vous plait quelqu'unn pourrait-il bien m'aider ????????

yoshi · 11-10-2015 21:04:05

Bonsoir,

Je vois que notre ami Tercès n'est toujours pas de retour...
Dauf erreur de calcul de ma part (mes notes sont très brouillonnes)
[tex]U_n=\frac{1+2^n}{n2^n}[/tex] ou encore si tu préfères [tex]U_n =\frac{0,5^n+1}{n}[/tex]
que j'écris :
[tex]U_n=\frac{1}{n2^n}+\frac{2^n}{n2^n}=\frac{1}{n2^n}+\frac 1 n[/tex]
Et la limite de Un quand n tend vers +oo est 0.

On t'a demandé de montrer que :
[tex]U_{n+1}-U_n= -\frac{1+(1+0,5n)(0,5)^n}{n(n+1)}[/tex]
Je ne vais pas chercher ce soir...
Mais je constate que [tex]\frac{1+(1+0,5n)(0,5)^n}{n(n+1)}>0[/tex] [tex]\forall n \in \mathbb{N}^*-\{1\}[/tex]
Avec un - devant je conclus que [tex]U_{n+1}-U_n <0[/tex] et donc que [tex]U_{n+1}<U_n[/tex]
Ca devrait être suffisant pour conclure...

A demain si nécessaire, à moins que quelqu'un passe d'ici là...

@+

freddy · 11-10-2015 21:45:27

Salut,

difficile de lire ton sujet, merci à yoshi.

On montre que [tex]V_{n+1}=\frac12V_n[/tex] et que [tex]V_1=\frac12[/tex]. Donc on conclut que [tex]V_n=\left( \frac12 \right)^n[/tex]

Ensuite, on reprend la définition de la suite [tex](V_n)[/tex] pour écrire [tex]U_n=\frac{V_n+1}{n}=\frac{\left( \frac12 \right)^n+1}{n}[/tex]

Je te laisse finir !

yoshi · 12-10-2015 07:50:41

Bonjour,

Merci, freddy. Tu me rassures : le soir venu, mon pourcentage d'erreurs augmente de façon exponentielle.

Mon stylo vient de rendre l'âme et j'ai la flemme d'aller en chercher un autre.
Donc, voyons cette formule de la Q4 en direct :
[tex]U_{n+1}-U_n=\frac{1+0,5^{n+1}}{n+1}-\frac{1+0,5^n}{n}[/tex]
Mise au même dénominateur :
[tex]U_{n+1}-U_n=\frac{n(1+0,5^{n+1})-(n+1)(1+0,5^n)}{n(n+1)}[/tex]
Développement :
[tex]U_{n+1}-U_n=\frac{n+n0,5^{n+1}-n -n0,5^n-1-0,5^n}{n(n+1)}[/tex]
Réduction :
[tex]U_{n+1}-U_n=\frac{-1 +n0,5^{n+1}-n0,5^n-0,5^n}{n(n+1)}[/tex]
Factorisation par 0,5n en mettant le -1 de côté :
[tex]U_{n+1}-U_n=\frac{-1 +0,5^n(0,5n-n-1)}{n(n+1)}[/tex]
Réduction dans la parenthèse :
[tex]U_{n+1}-U_n=\frac{-1 +0,5^n(-0,5n-1)}{n(n+1)}[/tex]

[tex]U_{n+1}-U_n=\frac{-1 -0,5^n(0,5n+1)}{n(n+1)}[/tex]

[tex]U_{n+1}-U_n=-\frac{1+0,5^n(0,5n+1)}{n(n+1)}[/tex]

Rien de bien méchant, donc.

@+

PointMathematique314 · 12-10-2015 11:22:07

Bonjour

yoshi a écrit :

Bonsoir,
Mais je constate que [tex]\frac{1+(1+0,5n)(0,5)^n}{n(n+1)}>0[/tex] [tex]\forall n \in \mathbb{N}^*-\{1\}[/tex]
@+

Pourquoi le -{1} ?

Je sais ce n'est pas faux mais pourquoi exclure 1? c'est un nombre qui ne te plaît pas?

A+
YP

yoshi · 12-10-2015 12:22:34

RE,

elena a écrit :

Justifier que, pour tout entier n supérieur ou égale à 1

J'ai simplement zappé le "ou égal à"...

Désolé, je ne suis pas infaillible...

@+

Terces · 12-10-2015 13:20:39

PointMathematique314 a écrit :

Bonjour
yoshi a écrit :
Bonsoir,
Mais je constate que [tex]\frac{1+(1+0,5n)(0,5)^n}{n(n+1)}>0[/tex] [tex]\forall n \in \mathbb{N}^*-\{1\}[/tex]
@+
Pourquoi le -{1} ?
Je sais ce n'est pas faux mais pourquoi exclure 1? c'est un nombre qui ne te plaît pas?

A+
YP

Salut,
en un bref coup d’œil, si n=-1 on obtient une division par 0, tout comme quand n=0 d'ou le N*.

Dernière modification par Terces (12-10-2015 13:21:16)

yoshi · 12-10-2015 13:54:52

Tercès, qui persite à quoter l'intégralité du post précédent, a écrit :

si n=-1 on obtient une division par 0, tout comme quand n=0 d'ou le N*.

Nan !
1. Point_truc a posé la question pour 1, pas pour -1 : [tex]\mathbb{N}*-\{1\}[/tex] ou, si tu préfères, le sous-ensemble [tex]]1 ;+\infty[[/tex] de [tex]\mathbb{N}[/tex]
2. Quant au n = 0, il est de toutes façons exclu par l'énoncé : La suite (Un) définie par u1: 3/2 et pour tout n supérieur ou égale à 1.

@+

elena · 13-10-2015 18:47:14

Merciii infiniment pour votre aide :)

Julienp53 · 16-10-2015 16:17:19

Si tu as veux encore t'améliorer , il y a le site http://www.mathovore.fr/les-suites-nume … ths-19.php propose mal d'exercices corrigés et notamment pour les suites.

Terces · 16-10-2015 20:34:57

Julienp53 a écrit :

Si tu as veux encore t'améliorer , il y a le site http://www.mathovore.fr/les-suites-nume … ths-19.php propose mal d'exercices corrigés et notamment pour les suites.

Salut,

Ce site aussi il me semble ;)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 10-10-2015 19:38:08

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#18 12-10-2015 07:50:41

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#19 12-10-2015 11:22:07

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#20 12-10-2015 12:22:34

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#21 12-10-2015 13:20:39

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