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Anonyme007

Invité

Algèbre de Heyting et Logique.

Bonjour,

L'algèbre de Heyting se base sur la notion d'adjonction à gauche et à droite.

Définition d'adjonction à gauche et à droite :

Soient [tex] X [/tex] et [tex]Y[/tex] deux préordres. Soient [tex]f : X \to Y[/tex] et [tex] g : Y \to X [/tex] deux applications.
On dit que [tex]f[/tex] est adjointe à gauche de [tex]g[/tex] ou que g[tex][/tex] est adjointe à droite de [tex]f[/tex] si :
[tex]\forall x \in X \ \forall y \in Y[/tex] : [tex]f(x) \leq y \ \Longleftrightarrow \ x \leq g(y)[/tex].
Cette opération s'appelle adjonction.

Définition d'algèbres de Heyting :

Une algèbre de Heyting est un ordre [tex]\mathcal{H}[/tex] tel que :
- L'unique application  : [tex] \langle \rangle : \mathcal{H} \to 1 [/tex] a une adjointe à gauche et une adjointe à droite.
- L'application diagonale : [tex]\Delta : \mathcal{H} \to \mathcal{H} \times \mathcal{H}[/tex] a une adjointe à gauche notée : [tex](x,y) \to x \vee y[/tex] et une adjointe à droite notée : [tex](x,y) \to x \wedge y[/tex].
- [tex]\forall y \in \mathcal{H}[/tex]  :  l'application : [tex]x \to x \wedge y[/tex] a une adjointe à droite, notée : [tex]z \to y \Longrightarrow z[/tex].

Voici le passage que je ne comprends pas dans mon cours :

Dans une algèbre de Heyting [tex]\mathcal{H}[/tex], la conjonction [tex]\wedge[/tex] est distributive sur la disjonction [tex]\vee[/tex]. En effet, l'application : [tex]x \to x \wedge a[/tex] a une adjointe à droite pour tout élément [tex]a \in \mathcal{H}[/tex]. Il en résulte que cette application commute aux bornes supérieurs, et en particulier que, [tex](x \wedge y ) \vee a = (x \wedge a ) \vee ( y \wedge a )[/tex].

Dans ce passage, je n'arrive pas à comprendre du tout pourquoi : [tex](x \wedge y ) \vee a = (x \wedge a ) \vee ( y \wedge a )[/tex]. Pouvez vous me l'expliquer svp ? D'où vient cette formule ?.

Merci d'avance.

Anonyme007

Invité

Re : Algèbre de Heyting et Logique.

Salut :

Il me semble que j'ai compris l'origine de cette distributivité. En effet :
Le foncteur : [tex] F_a ( \bullet ) = a \wedge \bullet [/tex] a un adjoint à gauche, donc, il préserve les limites inductives, c'est à dire que : [tex] F_a ( \displaystyle \lim_{ \to } \bullet ) = \displaystyle \lim_{ \to } F_a ( \bullet ) [/tex], en particulier les [tex] \sup (b,c) [/tex]  ( i.e : [tex] b \vee c [/tex] ).

Par conséquent :

[tex] F_a ( \displaystyle \lim_{ \to } \bullet ) = \displaystyle \lim_{ \to } F_a ( \bullet ) [/tex]

[tex] \Longrightarrow [/tex]

[tex] F_a ( \mathrm{sup} (b,c) ) = \mathrm{sup} ( F_a (b) , F_a (c) ) [/tex]

[tex] \Longrightarrow [/tex]

[tex] F_a ( b \vee c ) = F_a ( b ) \vee F_a ( c ) [/tex]

[tex] \Longrightarrow [/tex]

[tex] a \wedge ( b \vee c ) = ( a \wedge c ) \vee ( a \wedge c ) [/tex]