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admin212

Invité

polynôme caractéristique

Bonjour, j'ai une difficulté à propos de qui ce passe dans quelques exercices, voilà:

Dans certains exercices on donne une matrice dont je calcule le polynôme caractéristique, et puis je trouve les valeurs propres et leurs multiplicité, mais pour trouver la dimension de chaque sous espace propre avant de connaître que la matrice est diagonalisable ou pas, je trouve toujours dans la solution qu'il donnent directement la dimension, mais en général dans le cours on a:   mult(λ)>=dim E(λ)

Est ce que c'est évident de calculer la dimension d'un sous espace propre? ou il y'a des cas où c'est l'égalité?

par exemple dans un exercice, j'ai trouvé pour une matrice carré d'ordre 3 le polynôme caractéristique: ((x+2)^2)*(x-1)
on a Sp(A)={-2,1} avec mult(-2)=2 et mult(1)=1
j'ai trouvé: Donc dim E(-2)=2 et dim E(1)=1?? mais pourquoi??

Fred

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Re : polynôme caractéristique

Salut,

  La seule inégalité qui est vraie, pour une valeur propre, est
[tex]1\leq \dim E(\lambda)\leq \textrm{mult}(\lambda) [/tex].

Si tu as une racine de multiplicité 1 du polynôme caractéristique, tu sais directement que la dimension de l'espace propre associé est 1.
Sinon, tu ne peux pas conclure directement, tu dois trouver un autre moyen, par exemple cherche une base de l'espace propre.

Fred.

Admin212

Invité

Re : polynôme caractéristique

Bonjour, d'accord, pour l'exemple que j'ai donné, on a dim E(1)=1 c'est bien compris, mais pour dim E(-2) est ce que c'est 2? Si c'est oui pourquoi? Le fait que dim E(1)+dim E(-2)=dim E n'est vrai que si la matrice est diagonalisable. Est ce qu'on peut trouver directement         dim E(-2)=2??comment?
Merci

Roro

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Re : polynôme caractéristique

Bonjour,

Ce que dis Fred, c'est que justement tu ne peux pas trouver directement la dimension de l'espace propre avec seulement la multiplicité dans le polynôme caractéristique? Ca te donne juste une borne.

Tu peux penser aux deux exemples suivants (les plus simples que j'ai trouvé) :
[tex]A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}[/tex] et [tex]B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}[/tex]

Roro.

Admin212

Invité

Re : polynôme caractéristique

Bonjour, d'accord c'est compris, donc pour montrer q'une matrice est diagonalisable on doit calculer le polynôme caractéristique, puis trouver les valeurs prpres et leurs multiplicités, puis trouver une base de vecteurs propres, ce calcule nous donne même la matrice diagonale semblable, mais, s'ils nous donnent seulement de montrer que la matrice est diagonale ? On doit forcement faire le même calcule?il n y a pas de méthode plus simple?

Fred

Administrateur

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Re : polynôme caractéristique

Dans certains cas, on peut faire plus simple, par exemple si ta matrice est d'ordre n et que ton polynôme caractéristique admet exactement n racines distinctes. Il y a aussi des caractérisations à l'aide du polynôme minimal, mais as-tu entendu parler du polynôme minimal???

F.

Admin212

Invité

Re : polynôme caractéristique

Oui, j'ai déjà une idée à propos du polynôme minimale.
Pour la première, je la connait déjà, mais les caractérisations à l'aide du polynôme minimal,non.
??

User07

Invité

Re : polynôme caractéristique

Bonjour, j'ai trouvé une méthode très facile.
Tu peut penser à calculer le rang et puis utiliser le théorème de rang pour trouver la dimension du sous espace propre.
Dans un exemple donné: dim (E(λ))=n-rg(A-λI)
Cela donnera très facilement la dimension.

User07

Admin212

Invité

Re : polynôme caractéristique

Bonjour, c'est vrai je trouve cette méthode bien efficace, merci.
S'il vous plait y a t-il une méthode à l'aide du polynôme minimal?

Fred

Administrateur

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Re : polynôme caractéristique

Une matrice est diagonalisable ssi son polynome minimal est scindé à racines simples. Pour savoir si ta matrice est diagonalisable tu peuxcalculer le polynome caracteristique prendre le polynome avec les memes racines mais de multiplicité 1 et voir s'il est annulateur.

Admin212

Invité

Re : polynôme caractéristique

Bonjour, juste une petite dernière question s'il vous plait.
D'après ce que je sais, le polynôme minimal c'est le polynôme de plus petit degré annulateur.
Est ce le polynôme minimale d'une matrice est celui obtenu en prenant le polynôme caractéristique avec les mêmes racines mais de multiplicité 1?

Merci.

Fred

Administrateur

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Re : polynôme caractéristique

C'est celui ci si et seulement si la matrice est diagonalisable.

Admin212

Invité

Re : polynôme caractéristique

C'est compris, merci Fred !!