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Anonyme007

Invité

Plus grand élément / borne supérieure.

Bonsoir à tous,

Je suis à la recherche d'un ou plusieurs exemples d'ensembles pré-ordonnés ( i.e : réflexivité + transitivité ) qui contient une famille ou partie ayant un plus grand élément et une borne supérieure distinctes.

Merci d'avance pour votre aide.

Fred

Administrateur

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Re : Plus grand élément / borne supérieure.

Salut,

  Il y a quelque chose que je ne comprends pas dans ta question.
Si un ensemble admet un plus grand élément, alors ce plus grand élément est forcément la borne supérieure de l'ensemble.
Alors maintenant, si tu n'as pas antisymétrie, je ne vois pas trop ce que cela change (ni l'intérêt d'ailleurs!).

F.

Anonyme007

Invité

Re : Plus grand élément / borne supérieure.

Merci pour ta réponse.
Si je comprends bien ta réponse, tu voudrais dire que grand élément et borne supérieure, c'est pareil ? Je ne pense pas. Ou alors, il y'a un truc que je ne saisis pas dans ta réponse.

Anonyme007

Invité

Re : Plus grand élément / borne supérieure.

Ou bien tu veux dire, que le seul cas ou plus grand élément et borne supérieure sont distinctes est lorsque la partie en question ne dispose d'un plus grand élément ? Par exemple : [tex][0,1[[/tex] où   est sa borne supérieure, or il n'existe pas de plus grand élément dans [tex][0,1[[/tex], non ?
Merci d'avance.

Fred

Administrateur

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Re : Plus grand élément / borne supérieure.

C'est plutôt cela. S'il y a plus grand élément, il y a borne supérieure, et les deux sont égaux.
Mais il peut y avoir borne supérieure sans plus grand élément.

F.

User07

Invité

Re : Plus grand élément / borne supérieure.

Si un ensemble admet un plus grand élément, alors ce plus grand élément est égal à la borne supérieure comme a dit Fred.
C'est juste une implication.

Une borne supérieure d'un ensemble existe toujours, contrairement au plus grand élément, il peut exister ou pas.
Alors ce plus grand élément; s'il existe, il est égal à la borne supérieure, sinon la borne supérieure existe toujours, et on ne peut pas comparer la borne sup avec le plus grand élément dans ce cas.

Il n y a pas de cas où la borne supérieure et le plus grand élément diffèrent. c'est juste question d’existence ou non du plus grand élément.

User07.

Fred

Administrateur

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Re : Plus grand élément / borne supérieure.

Euh je corrige User07. Une borne supérieure n'existe pas toujours. Par exemple, [tex]\mathbb R[/tex], pour l'ordre usuel, n'a pas de borne supérieure!

User07

Invité

Re : Plus grand élément / borne supérieure.

L'ensemble [0,1[ admet une borne supérieure 1 qui n'est pas dans [0,1[.
Et bien c'est pareil, l'ensemble des réels admet plus l'infinie comme borne supérieure qui est dans l'ensemble R bar.

User07

Robin

Invité

Re : Plus grand élément / borne supérieure.

D'accord avec Fred, tout ce qui a été dit avant est vrai : s'il y a un plus grand élément, alors c'est la borne supérieure ; mais il peut y avoir une borne supérieure sans qu'il y ait de plus grand élément. Mais tout cela est vrai uniquement si la partie est majorée.