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MONTANERA

Invité

Trouver toutes les fonctions R dans R

Bonjour,

Pouvez-vous m'aider SVP. Ma petite fille me pose un problème que je n'arrive pas à résoudre:

Trouver toutes les  fonction de R dans R tel que:
xf(x)+f(1-x)=x*x*x + 1

Merci d'avance pour votre aide

Très cordialement

Roro

Membre expert

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Re : Trouver toutes les fonctions R dans R

Bonsoir MONTANERA,

Je ne sais pas dans quel cadre est posé cet exercice mais il ne me parait pas classique !
Voici comment je procèderai :

Etape 1 : je cherche une solution particulière, en tâtonnant je pense que tu en trouveras une sous la forme d'un polynôme (de degré 2)

Etape 2 : je montre que le problème admet une seule solution (par exemple en regardant le système que vérifie f(x) et f(1-x)... je te laisse réfléchir à ça).

Roro.

amatheur²

Invité

Re : Trouver toutes les fonctions R dans R

salut
je commencerais par remplacer x par 1-x dans l’équation fonctionnelle, j'aurais un système avec f(x) et f(1-x) comme variables.
@+

Roro

Membre expert

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Messages : 1 803

Re : Trouver toutes les fonctions R dans R

Salut,

amatheur² a raison, en fait l'étape 1 n'est pas utile dans ce que j'ai proposé ci-dessus... l'étape 2 consiste à faire ce que propose amatheur².

Roro.

Dernière modification par Roro (11-09-2015 05:53:28)

MONTANERA

Invité

Re : Trouver toutes les fonctions R dans R

Merci Roro et amalheur

J'ai bien trouvé un polynôme répondant à l'équation:

x*x - x + 1

Cela veut-il dire qu'il n'y a qu'une solution dans R.??

Je suis très légèrement dépassé car cela ne fait que 57 ans que j'ai résolu ces systèmes EH OUI !!

Très cordialement

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Trouver toutes les fonctions R dans R

Hello,

  Je vais un peu détailler les méthodes de Roro et de Amatheur.
On suppose qu'il y a une fonction f solution, et on pose a=f(x) et b=f(1-x). Alors
l'équation donne :
[tex] a x + b =x^3+1[/tex].
Mais l'équation qu'on te donne est vraie pour tout x. Tu peux l'appliquer en 1-x, c'est-à-dire que tu as aussi :
[tex] (1-x)f(1-x)+f(x)=(1-x)^3+1[/tex]
Cela te donne encore :
[tex] (1-x) b +a=(1-x)^3+1[/tex]

Et là, tu trouves un système de deux équations à deux inconnues en a et b que tu vas savoir résoudre!

Fred.

MONTANERA

Invité

Re : Trouver toutes les fonctions R dans R

Merci à tous de vous pencher sur mon problème.

La solution proposée par Fred est de  résoudre le système a et b, si on y arrive.

Est-ce que mon raisonnement est bon ?

Si je pose f(x) = ax² + bx + c et donc f(1-x) = a(1-x)² + b(1-x) + c
je trouve a = 1 ,  b = -1 et c = 1 donc j'ai f(x) = x² - x + 1

Est-ce que c'est la réponse car je me vois mal résoudre le système de Fred

Très cordialement

amatheur²

Invité

Re : Trouver toutes les fonctions R dans R

salut
reprenons la notation de Fred:
[tex]  b =x^3+1-a x[/tex]. , en injectant dans la dernière équation ça donne [tex] (1-x) (x^3+1-a x) +a=(1-x)^3+1[/tex]
il ne te reste qu'à développer et puis factoriser avec le facteur a. et là tu auras ta fonction!
une dernière étape consistera à vérifier si la fonction obtenue vérifie l’équation fonctionnelle.

MONTANERA

Invité

Re : Trouver toutes les fonctions R dans R

Merci à tous.
amatheur, c'est bien ce que j'avais fait mais j'arrive à une fonction du 4ème degré. Je dois me tromper certainement ou il y a une astuce de simplification que je ne vois pas
x*x*x*x - 2x*x*x + 3x*x  - 2x = a(x*x - x +1)

Le facteur de a     x*x - x + 1  est le polynôme que je trouve comme résultat  dans ma méthode !!!!

Désolé de mon ignorance mais je voudrais y arriver

Très cordialement

MONTANERA

Invité

Re : Trouver toutes les fonctions R dans R

Amalheur
J'ai trouvé mon erreur de calcul

x*x*x*x - 2x*x*x x +  3x*x - 2x + 1 = a(x*x -x + 1)  ou
(x*x -x + 1)(x*x -x + 1) = a (x*x -x + 1)

Donc a = x*x -x + 1

C'est bien ce que je trouvais avec ma méthode. Pourquoi n'est-elle pas valide ??

Très cordialement

amatheur²

Invité

Re : Trouver toutes les fonctions R dans R

Salut
Parce que tu suppose que la solution est polynomiale. Il se pourrait qu il y en ait d autres..!

MONTANERA

Invité

Re : Trouver toutes les fonctions R dans R

AH !! OK Compris
Merci pour tout