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Anonyme007

Invité

Topologie

Bonjour à tous,

Dans un livre, je trouve le passage suivant :

For example, if [tex]A[/tex] is a topological abelian group (e.g., [tex]\mathbb{R}[/tex] or [tex]\mathbb{C}[/tex] ), then we can define a sheaf on any topological space [tex]X[/tex][tex][/tex]  by setting [tex]\mathcal{F} (U)[/tex] equal to the set of continuous maps and taking the restriction maps to be the usual restriction of functions.
When [tex]A[/tex][tex][/tex] has the discrete topology, every continuous map [tex] f : U \to A[/tex] is constant on each connected component of [tex]U[/tex][tex][/tex] , and hence factors through [tex]\pi_{0} (U[/tex]) the space of connected components of [tex]U[/tex]. When this last space is discrete, [tex] \mathcal{F} (U)[/tex] is the set of all maps [tex]\pi_0 (U) \to A[/tex] , i.e., [tex]\mathcal{F}(U) = A^{ \pi_{0} (U) }[/tex][tex][/tex]. In this case, we call [tex]\mathcal{F}[/tex] the constant sheaf defined by the abelian group [tex]A[/tex] .

Pourquoi svp, lorsque [tex]A[/tex] est muni de la topologie discrète, alors, toute application continue [tex]f : U \to A[/tex] est constante sur chaque composante connexe de [tex]U[/tex], et par conséquent, elle se factorise par [tex]\pi_{0} (U)[/tex] ?

Merci d'avance.

Anonyme007

Invité

Re : Topologie

Je ne sais pas si je vais pouvoir bien exprimer ça :
Si [tex]A[/tex] est muni de la topologie discrète, alors, [tex]\forall a \in A : f^{-1} ( \{ a \} )[/tex] est un ouvert de [tex]U[/tex], et que [tex]\forall a_1 , a_2 \in A[/tex] , alors : [tex]f^{-1} ( \{ a_1 \} ) \bigcap f^{-1} ( \{ a_2 \} ) = \emptyset[/tex], Donc, U[tex][/tex] est une partition d'ouverts ? Mais, je n'arrive pas à établir que chaque ouvert est connexe, et en même temps le plus grand ouvert.

Anonyme007

Invité

Re : Topologie

Soit : [tex] \{ U_{i} \}_{ i \in A }[/tex] une partition ouverte de [tex]U[/tex], alors : [tex]\forall i_{0} \in I \ : \ U_{i_{0}}[/tex] est un ouvert de [tex]U[/tex]. Montrons qu'il est connexe. En effet :
Supposons que [tex]U_{i_{0}}[/tex] est réunion de deux ouverts disjoints [tex]V_{1}[/tex] et [tex]V_{2}[/tex], cela signifie que : [tex]f(V_{1} ) \subset \{ a_{i_{0}} \} \supset f(V_{1})[/tex] et donc, [tex]V_{1} , V_{2} \subset f^{-1} ( \{ a_{i_{0}}\} )[/tex], pouvez vous me dire pourquoi celà signifie que : [tex]U_{i_{0}} = V_1[/tex] et [tex] V_2 = \emptyset[/tex] ?
Merci d'avance.

Fred

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Re : Topologie

Salut,

  Je dirais plus simplement que :
* sur un ensemble muni de la topologie discrète, les connexes sont les singletons.
* l'image d'un connexe par une application continue est connexe.

Donc l'image de tout composante connexe de U par f doit être un singleton. Autrement dit, f est constante sur chaque composante connexe de U.

Fred.

Anonyme007

Invité

Re : Topologie

Merci Fred. 
J'ai trouvé une démonstration en appliquant un raisonnement par absurde :
Soit [tex]V[/tex] une composante connexe de [tex]U[/tex], et supposons que [tex]f[/tex] qui est continue sur [tex]U[/tex], n'est pas constante sur [tex]V[/tex], alors, [tex]\exists x , y \in V[/tex], tel que : [tex]f(x) \neq f(y)[/tex], alors : [tex]f^{-1} (  \{ f(x) \}  )[/tex] et[tex] f^{-1} (  \{ f(x) \}^c ) )[/tex] avec : [tex]y \in f^{-1} (  \{ f(x)\}^c )[/tex] est une partition de [tex]V[/tex] en deux ouverts , cela signifie que : [tex]V[/tex] n'est pas connexe, absurde. Par conséquent [tex] f[/tex] est constante sur [tex]V[/tex].