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jimijims

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Inégalité de Markov & Tchebychev

Bonjour,

Je suis actuellement en révisions pour mes rattrapages, et un des sujets me pose problème, du moins la dernière question...
Je mets l'énoncé complet et la totalité de mes réponses pour être sur que le reste soit bon, si quelqu'un avez la gentillesse de m'aider cela m'aiderait beaucoup.

On dispose de 1000 objets qui ont chacun une probabilité de [tex]\dfrac{1}{100}[/tex] d'être défectueux. On suppose les objets indépendants et on note X le nombre d'objets défectueux.

1) Quelle est la loi de X ? Par quelle loi peut-on l'approximer ?

L'épreuve suit un schéma de Bernouilli de succès "être défectueux" de probabilité [tex]p = \dfrac{1}{100}[/tex].
Les objets étant indépendants, et X comptant le nombre de succès, on en déduit que X suit une loi Binomiale de paramètres [tex]p = \dfrac{1}{100}[/tex] et [tex]n = 1000[/tex].
Ainsi : [tex]\forall~k = \{0,\cdots, 1000\}, P(X = k) = \binom{1000}{k}\left(\dfrac{1}{100}\right)^k\left(1 - \dfrac{1}{100}\right)^{1000 - k}[/tex].
Comme [tex]n = 1000 \geqslant 30, np = 10 < 15, p = 0,01 \leqslant 0,1[/tex], on peut approximer la loi de X par une loi de Poisson de paramètre [tex]\lambda = np = 10[/tex].

2) En utilisant l'inégalité de Markov, donner une majoration de la probabilité [tex]P(X \geqslant k)[/tex] avec [tex]k \geqslant 1[/tex].

[tex]\forall~k > 0, P(X \geqslant k) \leqslant \dfrac{E(X)}{k}[/tex].
L'espérance d'une loi Binomiale étant [tex]E(X) = np[/tex], on a [tex]E(X) = 10[/tex].
Ainsi [tex]P(X \geqslant k) \leqslant \dfrac{10}{k}[/tex].

3) En utilisant l'inégalité de Bienaymé Tchebychev, donner une autre majoration de [tex]P(X \geqslant k)[/tex].

[tex]\forall~k > 0, P(\vert X - E(X)\vert \geqslant k) \leqslant \dfrac{\text{Var}X}{k^2}[/tex].
On a donc :
[tex]\begin{align*}P(X \geqslant k) &= P(X - E(X) \geqslant k - E(X))\\
&=P(\vert X - E(X)\vert \geqslant k - E(X))\\
&= P(\vert X- 10\vert) \geqslant k - 10)\\
&\leqslant \dfrac{9,9}{(k - 10)^2}
\end{align*}
[/tex]
Pour cette dernière question je sais que j'ai faux ; j'ai testé avec un autre exercice et la majoration n'est pas vérifiée mais je ne comprends pas comment faire autrement...

Merci d'avance :)

Dernière modification par jimijims (07-06-2015 19:00:18)

freddy

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Re : Inégalité de Markov & Tchebychev

Salut,

3) En utilisant l'inégalité de Bienaymé Tchebychev, donner une autre majoration de [tex]P(X \geqslant k)[/tex].

[tex]\forall~k > 0, P(\vert X - E(X)\vert \ge k) \leqslant \dfrac{\text{Var}X}{k^2}[/tex].

Pourquoi tu ne démarres pas de là pour retrouver tout simplement un majorant à [tex]\Pr(X \ge k)[/tex] ?

jimijims

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Re : Inégalité de Markov & Tchebychev

Merci de ta réponse, par contre je ne comprends pas ce que tu veux que je fasse car pour moi je suis parti de cette inégalité...
En fait ce qu'il me gène c'est qu'on demande un majorant de [tex]P(X \geqslant k)[/tex] et que la formule donne celui de [tex]P(\vert X - E(X)\vert \geqslant k)[/tex]...

freddy

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Re : Inégalité de Markov & Tchebychev

Salut,

l'idée est que tu partes plutôt de l'inégalité pour retourver une forme en X >= k+E(X) , plutôt de de chercher à la retrouver !
Regarde comment on passe, en théorie, de celle  Markov à celle de BT.

Dernière modification par freddy (08-06-2015 10:52:52)