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Thomaths

Invité

Devoir maison sur le produit scalaire, 1ère S

Bonjour à vous.

Je suis en première S et j'ai un problème pour faire mon DM sur le produit scalaire.

Pour commencer, je vous présente le sujet pour que vous puissiez comprendre mon problème :

http://image.noelshack.com/fichiers/201 … n-0003.jpg

Voilà donc trois jours que je suis dessus mais je n'arrive même pas à faire la question 1, ni même la 2 et la 3.

Voici tout de même ce que j'ai essayé de faire :

Pour la première question, les deux manières que j'ai utilisées pour calculer ce produit scalaire sont :
- celle avec les identités remarquables , ce qui m'a donné ||AC||²-||AB||²=b²-c² (avec les flèches des vecteurs sur AC et AB).
- celle avec le cosinus, qui finit en un truc super compliqué, je vous montre tout le calcul, en remplaçant les flèches au dessus des vecteurs par un soulignement :

(AC-AB).(AC+AB)
=||AC-AB|| X ||AC+AB|| X cos ((AC-AB);(AC+AB))
=(AC-AB)² X (AC+AB)² X cos ((AC-AB);(AC+AB))
=(||AC||²-2AC.AB+||AB||²) X (||AC||²+2AC.AB+||AB||²) X cos ((AC-AB);(AC+AB))
=(b²-2AC.AB+c²) X (b²+2AC.AB+c²) X (cos ((AC-AB);(AC+AB))

Je me doute déjà que ce calcul est faux, surtout que je ne suis pas sûr que ce soit comme ça que l'on calcule ||AC-AB|| et ||AC+AB||, et je ne sais pas non plus comment gérer cos((AC-AB);(AC+AB)).

Donc voilà, si vous avez des pistes pour ce DM, je suis preneur parce que là, je suis complètement paumé.

Et pour la question 4, j'ai trouvé 240 cm² mais vu la complexité du DM, je me suis dit qu'il vallait mieux demander pour ça aussi, au cas où je me sois planté à cette question aussi.

En tout cas, merci d'avance, 1000 fois.

A bientôt.

yoshi

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Re : Devoir maison sur le produit scalaire, 1ère S

Bonsoir,

1. [tex](\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB})=||\overrightarrow{AC}||^2-||\overrightarrow{AB}||^2 = b^2-c^2[/tex]

2. Relation de Chasles :
[tex]\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}[/tex]
D'où
[tex](\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB})(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-2||\overrightarrow{AB}||^2+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB}[/tex]
Factorisation :
[tex](\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB})(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-2||\overrightarrow{AB}||^2+||\overrightarrow{BC}||^2=2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-2c^2+a^2[/tex]
Or
2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=2cb.\cos(\widehat{BAC})=2bc.\cos(\widehat{BAC})
Je remplace  :
[tex](\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB})(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=2bc.\cos(\widehat{BAC})-2c^2+a^2[/tex]

J'écris que les 2 formes sont égales :
[tex]2bc.\cos(\widehat{BAC})-2c^2+a^2 = b^2-c^2[/tex]
Je garde seulement le [tex]a^2[/tex] dans le premier membre:
[tex]a^2 = b^2-c^2-2bc.\cos(\widehat{BAC})+2c^2 = b^2+c^2-2bc.\cos(\widehat{BAC})[/tex]

Pour la suite (ainsi que savoir où tu as pris la mauvaise route), je verrai demain : le soir, en général, je ne suis pas bon à grand chose.
Là, je ne crois pas avoir gaffé.

Comment trouver le procédé ?
Se dire :
* de 2 façons dit l'énoncé, donc c'est sûr, il y a le produit remarquable et Chasles...
* Avec un -c² d'un côté, il me faut un -2c² de l'autre
* il me faut aussi encore a²  et [tex]2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}[/tex] de ce même côté...

Nanti de cela, ce n'était plus qu'une affaire de décomposition, puis de développement et un peu de "cuisine"...

@+

yoshi

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Re : Devoir maison sur le produit scalaire, 1ère S

RE,

=||AC-AB|| X ||AC+AB|| X cos ((AC-AB);(AC+AB))
=(AC-AB)² X (AC+AB)² X cos ((AC-AB);(AC+AB))

Je ne comprends pas comment tu peux passer de la 1ere ligne à la 2e...

Quant au [tex]\cos((\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB});(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}))[/tex] en fonction de [tex]\widehat{ABC}[/tex], c'est loin d'être gagné
Si [tex]\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}[/tex],
la somme [tex]\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}[/tex], I étant le milieu de [BC] : [tex]\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AI}[/tex]
et :
[tex](\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB});(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}) = (\overrightarrow{BC},2\overrightarrow{AI})=(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AI})[/tex]
Et comment exprimer cet angle en fonction de [tex]\widehat{ABC}[/tex] ?

Q2
a) b²+c² = (b-c)²+2bc
b) b²+c² = (b-c)²-2bc
Dans les deux cas il y aura factorisation impliquant bc à suivre...

c) Très "lourd".
Je partirais de [tex]a^2=b^2+c^2-2bc cos(\widehat A)[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow\;\cos(\widehat A) = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}[/tex]
[tex]\Longrightarrow\;\cos(\widehat A)^2=\frac{(b^2+c^2-a^2)^2}{4b^2c^2}[/tex]

[tex]\Longleftrightarrow\;1-\cos(\widehat A)^2 = \frac{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}{4b^2c^2}[/tex]

[tex]\Longleftrightarrow\;1-\cos(\widehat A)^2 = \frac{(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2}{4b^2c^2}[/tex]

[tex]\Longleftrightarrow\;1-\cos(\widehat A)^2 = \frac{(2bc+b^2+c^2-a^2)(2bc-b^2-c^2+a^2)}{4b^2c^2}[/tex]

[tex]\Longleftrightarrow\;1-\cos(\widehat A)^2 = \frac{[(b+c)^2-a^2][a^2-(b+c)^2]}{4b^2c^2}[/tex]

Et on continue la factorisation au numérateur...

A suivre...

@+

Dernière modification par yoshi (28-05-2015 14:24:00)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Devoir maison sur le produit scalaire, 1ère S

On continue...

On remarque que : [tex]\sin^2(\widehat A)=1-\cos^2(\widehat A) = \frac{(a+b+c)(a+b-c)(c+b-a)(c-b+a)}{4b^2c^2}[/tex]
Avec p  demi-périmètre, on a
[tex]a+b+c = 2p[/tex]
[tex]a+b-c = a+b+c-2c = 2p-2c = 2(p-c)[/tex]
[tex]c+b-a = c+b+a -(2a = 2p - 2a = 2(p-a)[/tex]
Je te laisse faire le dernier...

D'où [tex]\sin^2(\widehat A)= \frac{16p(p-c)(p-a)(p-b)}{4b^2c^2}=....[/tex]

Q3
Dans le triangle ABC où BC =a, AC = b et AB = c, on trace la hauteur [BH] relative à [AC]. Je pose BH = h.
[tex]S = \frac 1 2 bh[/tex]
[tex]\sin(\widehat A)=\frac h c[/tex] d'où [tex]h = c.\sin(\widehat A)[/tex]
Et [tex]S = \frac 1 2 bc.\sin(\widehat A)[/tex]

La suite ne doit pas te causer de souci.

@+

Thomaths

Invité

Re : Devoir maison sur le produit scalaire, 1ère S

Merci beaucoup pour tes réponses, ça m'a vraiment beaucoup aidé !
Je reviens en cas de soucis mais normalement avec toutes ces aides ça devrait aller. Merci 1000^10 fois !