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topologie

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Norme et ensemble des forme linéaire continue

"Si [tex]E=C([0,1],\mathbb{R})[/tex] muni de la norme [tex]||.||_{\infty}[/tex] et [tex]F=C^1([0,1],\mathbb{R})[/tex] muni de la norme [tex]||f||_{\infty}=||f||_{\infty}+||f'||_{\infty}[/tex], soit [tex]T: E\rightarrow E[/tex] tel que  [tex]Tf(x)=\int_0^xf(t)dt[/tex]

on doit montrer que [tex]T\in \mathcal{L}(E,F)[/tex] et calculer [tex]||T||[/tex].

[tex]T[/tex] est linéaire par la linéarité de l'intégrale, mais comment montrer la continuité de [tex]T[/tex] s'il vous plait ?

Fred

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Re : Norme et ensemble des forme linéaire continue

Tu dois majorer [tex] \|Tf\| [/tex] par une constante fois la norme de f.

Je n'ai pas l'impression qu'il y ait de difficultés particulières si tu appliques les définitions de tes deux normes.

F.

topologie

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Re : Norme et ensemble des forme linéaire continue

Je n'ai pas compris une chose pourquoi [tex]T:E \rightarrow E[/tex] et on montre que [tex]T\in \mathcal{L}(E,F)[/tex]

et la norme de [tex]Tf[/tex] c'est la norme par rapport à [tex]E[/tex] ou à [tex]F[/tex] ?

Merci

Dernière modification par topologie (23-05-2015 08:07:25)

Fred

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Re : Norme et ensemble des forme linéaire continue

C'est sans doute une erreur, je pense que dans l'exercice on veut dire que T va de E dans F (si f est continue, elle admet des primitives C1).
Du coup, la norme de Tf, c'est dans F qu'il faut la calculer.

topologie

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Re : Norme et ensemble des forme linéaire continue

On a [tex]||Tf||_{F}=||Tf||_{\infty}+||(Tf)'||_{\infty}[/tex] On a [tex]|Tf(x)|=|\int_0^x f(t) dt|\leq \int_0^x |f(t)| dt \leq x ||f||_{\infty}\leq ||f||_{\infty}[/tex] et donc [tex]||Tf||_{\infty}\leq ||f||_{\infty}[/tex]  d'un autre coté [tex]|(Tf)'|=|f(x)|\leq ||f||_{\infty}[/tex]

conclusion [tex]||Tf||\leq 2 ||f||_{\infty}[/tex]

c'est juste? mais comment calculer [tex] ||T||[/tex]? c'est quoi la différence entre [tex]||T||[/tex] et [tex]||Tf||[/tex] ?

merci

Fred

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Re : Norme et ensemble des forme linéaire continue

Pour la première partie, c'est juste.
Ensuite, [tex]\|T\|[/tex] est la plus petite constante [tex]C[/tex] telle que [tex]\|Tf\|\leq C\|f\|[/tex].
Ton premier raisonnement démontre que [tex] \|T\|\leq 2[/tex].

Reste à démontrer qu'on ne peut pas faire mieux (ou qu'on peut faire mieux!).
A ta place, je regarderais ce que cela donne avec [tex]f(x)=e^x[/tex].

F.

Fred

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Re : Norme et ensemble des forme linéaire continue

En réalité, la fonction exponentielle ne donne rien. Regarde plutôt ce que donne T appliquée à une fonction constante.