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Lachkar

Invité

somme des nombres entiers dans un triangle

Bonjour,

je suis ravi de vous demander une aide pour calculer la somme des nombres se trouvant dans un trianglr.
ces nombres sont disposes de la facon suivante

           
   
                                                             [tex]3[/tex]
                                          [tex]5[/tex][tex]12[/tex][tex]7[/tex]
                      [tex]8[/tex][tex]20[/tex][tex]48[/tex][tex]28[/tex][tex]16[/tex]
[tex]12[/tex][tex]32[/tex][tex]80[/tex][tex]192[/tex][tex]112[/tex][tex]64[/tex][tex]36[/tex]

pour trouver 5 on fait (3x2)-1 =5
8=(5x2)-2
12=(8x2)-4

pour cote droit la meme chose sauf il faut aouter 1 a chaque fois

pour les colonnes ou fait la multiplication par 4 pour remplir  toutes les colonnes

la question peuy on touver une methide simple pour valculer la somme de ces chiffres quelque soit leur nombre dans le triangle

merci

Lachkar

Invité

Re : somme des nombres entiers dans un triangle

Bonjour,

J'ai mal tracer mon tableau et je le refait en vous demandant une aide pour calculer la somme des nombres se trouvant dans un triangle.
ces nombres sont disposes de la facon suivante

==  ==  =====  3   ==  =========
==  == ==  5 = 12 ==  7 =========
== == 8 = 20= 48 == 28 == 16   ===
12== 32 =80= 192== 112== 64=  36

pour trouver 5 on fait (3x2)-1 =5
8=(5x2)-2
12=(8x2)-4

on fait la meme chose pour le cote droit sauf il faut ajouter 1 a chaque fois  ( 7=(3x2)+1  / 16=(7x2)+2  / 36=(16x2)+4 )
pour les colonnes ou fait la multiplication par 4 pour remplir  toutes les colonnes

la question peut on trouver une methode simple pour calculer la somme de ces chiffres quelque soit leur nombre dans le triangle

merci

yoshi

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Re : somme des nombres entiers dans un triangle

Bonjour,

2 questions :
* Ton nombre de départ est-il toujours le nombre 3 ?
* La ligne suivante (n° 5) est-elle :
   16 48 128  320 768 448 256 144 80 ?
   Je constate que
   ligne n°2 : 7+5=12
   ligne n°3 : 20+28 = 48 ; mais 8 + 16 = 24 = 48/2
   ligne n°4 : 80 + 112 = 192 ; et 32+64 =96 = 192/2  mais 12+36 = 48 = 192/4
   Et voilà la raison de ma question :
   ligne n°5 : 320+448 = 768 ; et 128+256 = 384 = 768/2, 48+144 = 192 = 768/4 jusque là pas de surprise...
   Mais la somme des extrêmes sera-t-elle 768/8 = 96  pu 768/6=128

Après quoi, il sera possible de répondre à ta demande de formule...

@+

Lachkar

Invité

Re : somme des nombres entiers dans un triangle

Bonjour,

pour tes questions

* Ton nombre de départ est-il toujours le nombre 3 ?   Reponse NON, il peut etre n'importe quel nombre
* La ligne suivante (n° 5) est-elle :   
   16 48 128  320 768 448 256 144 80 ?      OUI , c'est exacte

salut

yoshi

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Re : somme des nombres entiers dans un triangle

Salut,

Autant informatiquement, je pense pouvoir écrire rapidement un programme en Python pour calculer la somme en fonction d'un nombre de départ n  et un nombre l de lignes donnés, autant trouver une seule formule mathématique va être plus long que prévu.
Pour te permettre der patienter :
- Ta colonne centrale en partant d'un nombre n quelconque est : n, 4n, 16n, 64 n, 256n, 1024n... 
    La somme de ces l nombres si j'ai l lignes est :
   [tex]s=\frac{n(4^l-1)}{3}[/tex]
   Vérification avec n = 3 et l=6
   3+12+48+192+768+3072 = 4095
   [tex]\frac{3(4^6-1)}{3}=4^6-1=4096-1=4095[/tex]
- à partir du moment où :
   *  [tex]l\leqslant 2[/tex] la somme des nombres des 2 colonnes adjacentes à le colonne centrale vauti
       [tex]s_2=\frac{4n(4^{l-1}-1)}{3}[/tex]
       vérification avec l=6 et n=3 : [tex]s_2=\frac{12(1024-1)}{3}=4092[/tex]
       12+48+192+768+3072 =4092
   * [tex]l\leqslant 3[/tex] la somme des nombres des 2 colonnes adjacentes aux 3 colonnes centrales vaut :
       [tex]s_3=\frac{8n(4^{l-2})}{3}[/tex]
       Vérification avec l=6 et n=3 : 24+96+384+1536 = 2040
       [tex]s_3=\frac{8n(4^{l-2})}{3}=\frac{24(256-1)}{3}=8\times 255 =2040[/tex]

@+

Lachkar

Invité

Re : somme des nombres entiers dans un triangle

Bonjour,

La formule que tu as demontre ne donne pas la somme des nombres constituant le tableau de ( 4 lignes et 7 colonnes)

==  ==  =====  3   ==  =========
==  == ==  5 = 12 ==  7 =========
== == 8 = 20= 48 == 28 == 16   ===
12== 32 =80= 192== 112== 64=  36

cette est 675.

et si on concedere la 5eme ligne

====  ==  =======  3   ==  =========
====  == == == 5 = 12 == = 7 =========
==== === 8 == 20= 48 === 28 == 16   ===
===12== 32 ==80= 192== 112== 64=  36==
16= 48 =128 = 320= 768 ==448= 256= 144=80

la somme sera 2883

peut-on trouver une formule simple qui donne cette somme?

Salut

yoshi

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Re : somme des nombres entiers dans un triangle

Bonjour,

La formule que tu as demontre ne donne pas la somme des nombres constituant le tableau de ( 4 lignes et 7 colonnes)

Tu ne m'as pas lu correctement parce que je n'ai pas écrit cela : je n'ai pas prétendu avoir donné une formule permettant de trouver la somme des nombres d'un tableau !
Je n'ai pas donné 1 formule mais 3 formules donnant la somme de la colonne centrale, puis la somme des nombres de chaque côté par 2 colonnes symétriques à la fois, 5 colonnes 1+2+2 de ton tableau soit colonne A, puis colonne B+C, puis colonne D+E, c'est tout pour le moment...
Mes formules ont été vérifiées...
J'ai pris un tableau de 6 lignes :
 

                 F  D   B   A   C   E   G
                            ..
                        ..  ..  ..
                    ..  ..  ..  ..  ..
                ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..
            ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..
        ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..  ..

La 1ere formule donne celle de la colonne centrale A.
La 2e formule donne la somme des colonnes B+C.
La 3e formule donne la somme des colonnes D+E.
C'est tout...
Je t'ai livré ces formules pour te permettre de patienter. Patienter = prendre patience, ce qui voulait dire que je n'ai pas fini !
Je t'avasi fait remarquer que sur chaque ligne
à partir de la 2e :  la somme des nombres B et C = A
à partir de la 3e :  la somme des nombres D et E = A/2
à partir de la 3e :  la somme des nombres F et G = A/4

Ton tableau pour calculer les sommes peut se ramener à :

          Valeurs
                                   colonnes n°
lignes  |        1          2         3        4        5       6
1       |        n
2       |       4n          4n
3       |      16n         16n        8n
4       |      64n         64n       32n      16n
5       |     256n        256n      128n      64n      32n
6       |    1024n       1024n      512n     256n     128n     64n

Écris ton tableau de 6 lignes en partant de n = 3 et fais sur chaque ligne les sommes des nombres symétriques par rapport au nombre central, puis vérifie, en remplaçant n par 3, si le tableau ci-dessus est juste.

Si tu préfères dit comme ça, sur chaque ligne je fais la somme des nombre symétriques par rapport au ,nombre central...
[tex]n+4n+16n+64n+256n+1024n=n(1+4+16+64+256+1024)=n(1+4^1+4^2+4^3+4^4+4^5)[/tex]
Entre parenthèses, c'est la somme des termes d'une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison 4 :
Cette somme vaut, avec l=6 :
[tex]n\times \frac{4^6-1}{4-1}[/tex]

La somme des nombres de la 2e colonne est :
[tex]4n+16n+64n+256n+1024n =4n(1+4^1+4^2+4^3+4^4)[/tex]
Entre parenthèses, c'est encore la somme des termes d'une suite géométrique de 1er terme 1 et de raison 4 :
Cette somme vaut, avec l=6 :
[tex]n\times \frac{4^{6-1}-1}{4-1}[/tex]...

Je peux retrouver cette somme ainsi (avec l=6):
[tex]n\times \frac{4^6-1}{3}-n=n\left(\frac{4^6-1}{3}-1\right)=n\left(\frac{4^6-1}{3}-\frac 3 3\right)=n\left(\frac{4^6-1-3}{3}\right)=n\left(\frac{4^6-4}{3}\right)= 4n\times \frac{4^5-1}{3}[/tex]

Je sais faire la somme de chaque colonne, il me manque "un test d'arrêt"
Programmer ça en Python, c'est relativement simple, trouver une formule mathématique globale va demander un peu plus de temps.
Je n'ai pas dit autre chose en écrivant dans mon post précédent :

Autant informatiquement, je pense pouvoir écrire rapidement un programme en Python pour calculer la somme en fonction d'un nombre de départ n  et un nombre l de lignes donnés, autant trouver une seule formule mathématique va être plus long que prévu.

Ça y est, c'est plus clair ?

So, wait, please !

@+

yoshi

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Re : somme des nombres entiers dans un triangle

Bonjour,

Dans un premier temps voilà le script informatique en Python.
Infos à donner :
n le nombre de départ
l le nombre de lignes

######## Valeurs à modifier #######
n=3
l=5
###################################

# Calculs
S=n*(4**l-1)//3
#print (S,end=" ")
for c in range(1,l):
    #cc=2**(c+1)*n*(4**(l-c)-1)//3
    #print (cc, end=" ")
    S+=2**(c+1)*n*(4**(l-c)-1)//3

print ("\nS =",S)

Pour tes vérifications, voici les affichages obtenus pour
n = 3 et l= 5  ---> S = 2883
n = 3 et l = 6 ---> S = 11907
n = 3 et l = 7 ---> S = 48387

n = 11 et l = 5  ---> S = 10571
n = 11 et l = 6  ---> S = 43659
n = 11 et l = 7  ---> S = 177419

n = 23 et l = 17  ---> S = 395130961943

Les # après la mention #Calculs, lignes 8, 10 et 11 peuvent être enlevés.
Alors apparaîtront les calculs intermédiaires des colonnes présentées au post précédent.
Voilà, dans ce cas les sorties pot n=3 et l=6 :

4095 4092 2040 1008 480 192
S = 11907

Déjà avec ça, tu auras la réponse à n'importe quelle configuration : il ne te reste plus qu'à télécharger Python et à l'installer...
Un avantage de Python, c'est que la taille des nombres entiers n'y est limitée que par la quantité de RAM disponible sur ta machine : on manipule sans souci des entiers de 20000 chiffres ;-)

@+

Maintenant que du côté programmation, c'est au point, je vais me pencher sur la recherche d'une formule mathématique exploitable.
Je ne promets rien...

Lachkar

Invité

Re : somme des nombres entiers dans un triangle

Bonjour,

Ton programme est parfait et donne les resultats cherches.
D'apres toi, peut on exploiter un tel tableau dans la vie courante? ( exemple triangle du Pascal?) dans les statistiques ou autres choses.

Salut

yoshi

Modo Ferox

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Re : somme des nombres entiers dans un triangle

Re,

D'apres toi, peut on exploiter un tel tableau dans la vie courante? ( exemple triangle du Pascal?) dans les statistiques ou autres choses.

Alors, là...
Je n'en sais absolument rien ! Mais toi, qu'avais-tu en tête en construisant ce tableau ?
Je me demande si ton procédé n'est pas exploitable avec une multiplication autre que par 4 ?

Tiens, juste pour le plaisir, temps de calcul < 1 s, avec n =17 et l=79 lignes :
S = 6211381958656337402365639987305269384841743302673
n=17 et l=151 lignes, temps toujours < 1 s :
S = 138518446390745053866254306811837714951499850672230821939252278644134482461341226746444251153

@+

bam

Invité

Re : somme des nombres entiers dans un triangle

Bonjour,

avec les mêmes notations : [tex]S = n (2^l -1)^2[/tex]
>>> 17*(2**151-1)**2
S=138518446390745053866254306811837714951499850672230821939252278644134482461341226746444251153

Dernière modification par yoshi (19-03-2015 19:16:07)

Lachkar

Invité

Re : somme des nombres entiers dans un triangle

Bonjour,

C'est exactement la formule que Bam indiquer ,est ma formule que j'avais diffusee sur ce site il y a longue temps et si vous cherchez vous la trouver et j'avais une discussion avec Yoshi ( Fornule de la somme des nombres du Losange de Lachkar)

Sakut

Lachkar

Invité

Re : somme des nombres entiers dans un triangle

Rebonjour,

voir

    Accueil
    » Café mathématique
    » somme de plusieurs suites géométriques sous forme de losange
en date 2912

yoshi

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Re : somme des nombres entiers dans un triangle

Bonsoir,

@bam. Clap ! Clap !  Clap ! Beau boulot ! J'allais m'atteler à chercher, mais là ce n'est plus nécessaire... La démo de ta formule m'intéresse.

en date 2912

Alors là, ça me surprendrait, sauf si tu as découvert la machine à voyager dans le temps... ^_^

@+

bam

Invité

Re : somme des nombres entiers dans un triangle

Bonjour,

Le développement suivant est une manipulation assez simple des exposants dans les puissances de 2
et des progressions géométriques, il ne saurait prétendre à une nouveauté dans les résultats mathématiques !

Les lignes sont numérotées de 1 à n et le terme en ligne 1 est [tex]S_1=U[/tex]
Les termes [tex]G_2\ et\ D_2[/tex] en bout de ligne 2 sont définis par [tex]G_2+D_2=U.2^2[/tex]
et sont ensuite en progression géométrique de raison 2 pour n>1
Ainsi  [tex]S_n =U.2^n + 4S_{n-1}[/tex]

En multipliant les [tex]S_k\ par\ 4^{n-k}[/tex] pour k de 1 à n, on élimine les [tex]S_k[/tex] à gauche et à droite
en ne conservant ligne 1 que  [tex]U.4^{n-1}[/tex]t, ligne n l'expression de [tex]S_n[/tex],
et pour k de 2 à n,  [tex]S_k=U.(2^k.4^{n-k}) = U.2^{2n-k}[/tex]

Ainsi [tex]S_n= U.(4^{n-1} + \sum_{k=2}^n {U.2^{2n-k}})[/tex]
La somme est une progression géométrique de premier terme  [tex]U.2^n[/tex] pour k=n, de raison 2 et comprend (n-2+1) termes.
La somme vaut donc [tex]U.2^n.(2^{n-1}-1)[/tex] et
[tex]S_n = U.(2^{2(n-1)} + 2^n.2^{n-1} – 2^n ) = U.( 2^{2n-2} + 2^{2n-1} – 2^n)[/tex]
[tex]S_n = U.( 2^{2n-2}.(1+2)– 2^n)[/tex]

Reste à obtenir [tex]S= U.(1+ \sum_{k=2}^n{(3.2^{2k-2} – 2^k)}[/tex]
On obtient de ces progressions géométriques sous la somme : [tex]S= U.(1 + 2^{2n} - 2^{n+1}) = U.( 2^n - 1)^2[/tex]

Lachkar

Invité

Re : somme des nombres entiers dans un triangle

Bonjour,

Tout d.abord je corrige l'erreur de frappe pour la dade c'est le 10/2/2010 et non 2912?

et je tire chapeau a Bam pour sa demonstration.
mais la nouvete c'est la constitution des nombres du tableau, qui est une suite des sommes des nombres adjacent dans un tableau et dont les lignes sont des suites arithmetiques et chaque ligne a sa raison, et les colonnes sont des suites geometriques de raison 4.

Maintenant le probleme peut on exploiter le tableau?

Salut

Lachkar

Invité

Re : somme des nombres entiers dans un triangle

Rebonjour,

pour plus de clarte de la formation du tableau

Le principe consiste à dresser un tableau de n lignes et n colonnes  et on écrit sur la première ligne la suite des nombres entiers positifs, en intercalant une case pleine avec une case vide  soit :
1,    ,2,   , 3,   , 4,   , 5,   , 6,   , 7,   , 8,   , 9,   , 10,   , 11, …..
et sur chaque ligne suivante  on écrit la valeur  de la somme entre deux valeurs consécutives de la ligne précédente, dans la case vide du tableau

On obtient ainsi une succession de lignes :
               

    1        2       3         4        5  …………
        3        5        7         9  ………….. 
             8       12      16  ……………     
                  20     28 ……………..           
                       48 ……………
La conjecture s'énonce ainsi :
Elle consiste à déterminer la somme  des nombres contenus dans un losange. Ces nombres sont placés dans les cases d’un tableau suivant une progression géométrique qui est formée  par la somme des nombres consécutives des lignes précédentes qui sont  notés dans les cases alternées  des lignes suivantes, à chaque opération d’addition des nombres consécutifs précédents.
Exemple
Soit a déterminer la somme des nombres d’un losange dont le sommet est le nombre 3 et ayant 3 nombres par coté
nous allons poser un facteur de multiplication de raison 2 pour chaque nombre de coté  du losange, donc on a 3 facteurs de 2 :
soit   m =  2x2x2.       Donc  m = 2n    avec  n est égale au quantité des nombres par  côté  ou par diagonale du losange.
Donc la somme   sera égale  au produit du sommet du losange par ( m – 1)2              m est multiple de 2

    1        2      3         4        5  …………
        3        5        7         9  ………….. 
             8       12      16  ……………     
                  20     28 ……………..           
                       48 ……………

On peut aussi écrire  la formule de la somme   
                              S = s (2n - 1)2

  n est égale au nombres par côté du losange  et s est le sommet du losange
                                   
     
=       =        3        =        =
    =        5        7        =   
        8        12        16       
            20        28           
                  48       

       
Remarque:  les colonnes sont des suites géomatique de raison 4
avec le cas de nombres de nombres par cote du losange   n=3    et s=sommet =3
S = 3(23 – 1)2        donc la somme est  S= 3x72  = 147

Cette formule est valable pour tout losange de n cotés 
Ma question peut-on  trouver une utilisation ?

Salut

yoshi

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Re : somme des nombres entiers dans un triangle

Salut,

Beau boulot, merci.
Depuis hier, - ne voulant pas être en reste - j'ai trouvé aussi (l'idée m'est venue dans mon lit !)...
En fait, mon comptage en colonnes compliquait la chose : j'ai trouvé en calculant en ligne...

Voilà comment.
J'ai ramené n à 1 pour plus de facilité.

                    
       Sommes
par lignes    cumulées   Remarque 1     Remarque 2     n° de ligne
  1               1          1²          (2¹-1)²             1
  8               9          3²          (2²-1)²             2
 40              49          7²          (2³-1)²             3
176             225         15²          (2⁴-1)²             4
736             961         31²          (2⁵-1)²             5      

(Pourquoi n'y ai-je pas pensé tout de suite ?!!!)

D'où j'en ai inféré que, ici : [tex]S=(2^l-1)^2[/tex]
A tout hasard, j'ai vérifié avec un total déjà calculé :
n = 23 et l = 17  ---> S = 395130961943
Donc 395130961943/23 = 17179607041
[tex](2^{17}-1)^2 = 17179607041[/tex]
Reste plus pour faire "propre" que la récurrence...
Et donc en partant de n au lieu de 1 :
[tex]S=n(2^l-1)^2[/tex]

Je suis parti dès le début sur les sommes par colonnes : c'était une maladresse...

@+

Lachkar

Invité

Re : somme des nombres entiers dans un triangle

Bonsoir,

comme il l'a signale Mr Bam, la formule n'est pas une nouvete, mais la question est que comment on est aboutit a cette formule par la construcyion d'un tableau et on additionnant les nombres adjacents, on est arrive a ce tablrau ca c'est une nouvete qui peut etre exploite informatiquement et statistiquement que sais-je?

salut

yoshi

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Re : somme des nombres entiers dans un triangle

Bonjour,

Puisque la foule (!) trépignant d'impatience attend ma version de la récurrence, voilà (j'ai enfin pris le temps de m'y mettre)...
Donc, post#18, j'ai montré sur des exemples comment on pouvait arriver à la formule en partant du nombre 1...
Les première et 2e partie du raisonnement par récurrence étant donc faites, je passe à la 3e partie : Montrer l'héritage...
Au passage, je change de notations : j'appelle n le nombre de lignes (et donc de colonnes) et k le nombre de départ (dont je ne m'occupe pas pour l'instant).
Adoncques, la somme des nombres contenus dans mon tableau s'écrit [tex](2^n-1)^2[/tex]. C'est le point 2.
Pour vérifier que l'héritage est bien transmis, il faut ajouter à cette somme, la somme des nombres contenus sur la ligne n+1, et montrer qu'on arrive à [tex](2^{n+1}-1)^2[/tex].

Les nombres de la ne ligne sont
[tex]4^{n-1}\;4^{n-1}\;\frac{4^{n-1}}{2^1}\;\frac{4^{n-1}}{2^2}\;\frac{4^{n-1}}{2^3}\;\cdots\;\frac{4^{n-1}}{2^{n-2}}[/tex]
Leur somme est :
[tex]4^{n-1}+4^{n-1}+\frac{4^{n-1}}{2^1}+\frac{4^{n-1}}{2^2}+\frac{4^{n-1}}{2^3}+\cdots+\frac{4^{n-1}}{2{n-2}}[/tex]
soit :
[tex]S=4^{n-1}+4^{n-1}\left(1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{n-2}}\right)[/tex]
Et dans la parenthèse, on reconnait la somme des n-1 termes de la suite géométrique de 1er terme 1 et de raison [tex]\frac 1 2[/tex] :
[tex]1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^{n-2}}= \frac{1-\frac{1}{2^{n-1}}}{1-\frac 1 2}=\frac{\frac{2^{n-1}-1}{2^{n-1}}}{\frac 1 2}=\frac{2(2^{n-1}-1)}{2^{n-1}}=\frac{2^{n-1}-1}{2^{n-2}}[/tex]
Et [tex]4^{n-1}=2^{2n-2}[/tex]
D'où :
[tex]S=2^{2n-2}+2^{2n-2}\times \frac{2^{n-1}-1}{2^{n-2}}[/tex]
[tex]S=2^{2n-2}+2^n\times(2^{n-1}-1)=2^{2n-2}+2^{2n-1}-2^n[/tex]
Somme qui vaut pour la ligne n+1 :
[tex]2^{2n}+2^{2n+1}-2^{n+1}[/tex]
Et maintenant, je somme :
[tex](2^n-1)^2+2^{2n}+2^{2n+1}-2^{n+1}=2^{2n}-2^{n+1}+1+2^{2n}+2^{2n+1}-2^{n+1}[/tex]
Après simplifications, il reste :
[tex]2^{2n+2}-2^{n+2}+1 = (2^{n+1}-1)^2[/tex]...
L'héritage est bien transmis.

C'est plus long que la démo de Bam (donc la sienne  est plus "jolie"), mais c'est la mienne...

Et Maintenant, j'écris que je pars de k et non de 1, la somme cherchée pour n lignes et un nombre k est
[tex]S_{n,k} = k(2^n-1)^2[/tex]

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