Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Caroline254

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Suite n-ième

Bonjour, voila mes pistes:
x2 - x1 = 1
x3 - x2 = -1/2
x4 - x3 = 1/6 = (1/2)*(1/3)
x5 - x4 = -1/15 = - (1/3)*(1/5)
x6 - x5 = 1/40 = (1/5)*(1/8)
xn+1 - xn = ?

Bon voila, je déteste ce genre de probleme. Je veux montrer que ma suite au debut est une suite de Cauchy mais je n'arrive pas a trouver la n-ieme suite afin d'y arriver. Quelqu'un peut m'aider? J'y suis presque, je vois un lien entre les éléments mais je n'arrive pas dire dire lequel. Merci de vouloir m'éclaircir.

galdinx

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Re : Suite n-ième

Bonsoir,

Es-tu sur sur de tes premieres pistes, car au vu de la présentation des résultats je ne peux trouver mieux que :

xn+1 - xn = -(xn - xn-1) * 1/y(n)

ou y(n) = -(n^4)/24 + (7n^3)/12 - (59n^2)/24 + 59n/12 -2

ce qui me parait raissonnablement pas etre la solution...

A te relire...

Fred

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Re : Suite n-ième

Bonjour,

  Ce n'est pas terrible comme exo....
A voir comme cela, on a dans les 1/QQCH qui apparaissennt les entiers 1,1,2,3,5,8,....
avec 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2, 8=5+3, etc...
Il semble donc que, en posant u_1=1, u_2=1 et u_{n+2}=u_n+u_{n+1}, on ait
x_{n+1}-x_n= (-1)^n *(1/u_n)*(1/u_{n-1}).

Après, on peut effectivement calculer la valeur exacte de u_n, puis sans doute montrer que x_n est une suite de Cauchy!

Fred.

galdinx

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Re : Suite n-ième

Bonjour,

Bien vu fred, j'ai peut etre cherché un peu trop compliqué mais j'arrivais pas a voir le rapport entre les nombres de la suite 1 2 3 5 8.

++

Caroline254

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Re : Suite n-ième

Il y a peut-etre plus simple pour montrer que c'est une suite de Cauchy qu'en trouvant la n-ieme terme de x_n+1 - x_n mais voila, j'ai toujorus fait ca comme ca en classe et ca donnait toujours des suite toute belle genre (1/2)'n, je comprend pas pourquoi ca devrait etre plus compliké. Ma question est Soit {x_n} la suite définie par x_1 = 1 et x_n+1 = 1 + (1/x_n), montrer qu'elle est convergente et que lim x_n = (1/2)(1+racine de 5). J'aime bien montrer la convergence en montrant qu'elle est de Cauchy, serait-ce plus compliké que de le montrer en prouvant qu'elle est bornée et monotone? En décortiquant la suite j'obtiens:

x_1 = 1    x_2 = 2   x_3 =3/2   x_4 = 5/3     x_5 = 8/5 etc.... Je veux mon xn en terme de n pour avancer et je ne vois vraiment pas....

Je me repete mais je deteste trouver les suites.

Fred

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Re : Suite n-ième

Mouais, la montrer que la suite est de Cauchy pour montrer qu'elle est cv est sans doute
une mauvaise idée.
Tu as tout simplement une suite récurrente x_n+1=f(x_n), et il faut appliquer la méthode
générale pour étudier ce genre de suite...

Fred.

Caroline254

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Re : Suite n-ième

Je ne suis pas sur de bien comprendre cette suite récurrente, je n'ai jamais entendu parler en classe ni meme dans mes livres. Habituellement, je trouve mon x_n en terme de n et ca va bien. Quelle est la méthode générale dans ce cas pour étudier la convergence et de meme trouver sa limite?

Fred

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Re : Suite n-ième

Argh.... Ca ne va pas être si facile de t'expliquer comme cela...
Puisque x_{n+1}=1+1/(x_n), si jamais la suite x_n cv vers l,
alors l vérifie l'équation l=1+1/l (c'est l'équation aux limites possibles).
Il n'y a qu'une seule racine positive (celle que tu donnes), et comme x_n est positive,
si elle converge, c'est forcément vers cette limite!
Et la ca se complique car la fonction est décroissante, et si tu n'as jamais vu une méthode comme
cela en cours, cela n'est probablement pas comme cela que l'on veut que tu fasses.
D'ailleurs, dis nous quelles études tu suis, ca peut parfois nous éclairer!

A+
Fred.

Caroline254

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Re : Suite n-ième

J'habite au Québec et je suis en BAC en mathématique, première session. Ta piste m'aide un peu, j'ai déja vu comment montrer qu'elle converge en montrant qu'elle est borné et monotone mais puisque je n'arrive pas vraiment a trouver x_n, pour  le fait du bornée, j'vois pas. J'vais peut-etre y aller graphiquement pour au moins avoir un peu de points dans ce numero.

Caroline254

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Re : Suite n-ième

Bonjour, je viens de trouver comment montrer que si la limite existe alors elle est égale a (1/2)(1+racine de 5) seulement en utilisant mon x_n+1. Si lim x_n = x existe, alors comme x_n+1 = 1 +(1/x_n) Un passage a la limite nous donne:
lim x_n+1 est forcément tres proche de x alors  x = 1+(1/x) (Comme Fred expliquait plus haut) en cherchant la racine  de x'2-x-1, ca nous donne effectivement la limite demandée. Cependant, je me demandais si je pouvais simplement montrer qu'elle converge en y allant graphiquement alors mon 1 +(1/x). On verrait qu'elle est croissante et bornée. Apres avoir montrer ca, on y va en montrant la limite que j'Ai fait plus haut. Merci de me repondre rapidement!

john

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Re : Suite n-ième

Hello Caro,
si, pour x>0 tu traces les fonctions y1 = 1 + 1/x et y2 = x, le point d'intersection de ces 2 graphes est bien la limite L cherchée.
Mais tu vois aussi que la suite n'est pas monotone. Les x_n convergent effectivement vers la limite L mais en alternant (valeur supérieure, valeur inférieure). Si tu places x_n sur l'axe des x, alors tu as y1(x_n) qui te donne x_n+1 que tu renvoies sur l'axe des x en passant par y2 etc. Pas facile à expliquer sans graphique... Bref, si tu suis le chemin parcouru en partant de x_n pour trouver x_n+1 et que tu réitères, tu vas t'apercevoir que tu tournes autour de l'intersection de y1 et y2. Il y a donc une condition de convergence qui s'exprime avec la pente de y1 au voisinage de la limite (car soit tu tournes en t'éloignant de L soit l'inverse ou à la limite tu as 2 points d'accumulation). Pas bien clair tout ça...
A+