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#1 24-12-2014 12:29:46
- jimijims
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Théorème des fonctions implicites
Bonjour,
J'aimerais un peu d'aide sur un sujet de partiel tombé l'an dernier... Malheureusement je ne sais absolument pas comment faire... On m'a dit que je devais utiliser le théorème des fonctions implicites, mais ne le comprenant pas et n'ayant fait aucun exercice dessus, je suis complètement perdu... Serait-il possible d'avoir une aide, au moins pour la première question, que j'arrive à la comprendre et ensuite m'attaquer aux autres questions svp ?
Soit [tex]f : \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^2[/tex] donnée par [tex]f(x,y,u,v) = (\text{e}^x\cos{(y)} - u, \text{e}^x\sin{(y)} - v)[/tex] et soit [tex](x_0, y_0, u_0, v_0) \in \mathbb{R}^4[/tex] un point vérifiant [tex]f(x_0,y_0,u_0,y_0) = (0,0)[/tex].
1) Pour quels points [tex](x_0, y_0, u_0, v_0)[/tex] peut-on résoudre localement (dans un voisinage de [tex](x_0, y_0, u_0, v_0)[/tex]) le couple [tex](u,v)[/tex] en fonction du couple [tex](x,y)[/tex] sous forme [tex](u,v) = g(x,y)[/tex] à partir de l'équation [tex]f(x,y,u,v) = (0,0)[/tex] ?
2) Pour quels points [tex](x_0, y_0, u_0, v_0)[/tex] peut-on résoudre localement (dans un voisinage de [tex](x_0, y_0, u_0, v_0)[/tex]) le couple [tex](x,v)[/tex] en fonction du couple [tex](y,u)[/tex] sous forme [tex](x,v) = g(y,u)[/tex] à partir de l'équation [tex]f(x,y,u,v) = (0,0)[/tex] ?
3) Pour quels points [tex](x_0, y_0, u_0, v_0)[/tex] peut-on résoudre localement (dans un voisinage de [tex](x_0, y_0, u_0, v_0)[/tex]) le couple [tex](x,y)[/tex] en fonction du couple [tex](u,v)[/tex] sous forme [tex](u,v) = g(y,u)[/tex] à partir de l'équation [tex]f(x,y,u,v) = (0,0)[/tex] ?
4) Dans chacun des trois cas ci-dessus, exprimer la différentielle [tex]D_g[/tex] en termes des dérivées partielles de [tex]f[/tex] au point [tex](x_0, y_0, u_0, v_0)[/tex] (pour un tel point où la fonction [tex]g[/tex] existe) et ensuite donner une expression explicite pour [tex]D_g[/tex] en termes des variables dont dépend [tex]g[/tex].
Je vous remercie d'avance,
Bonnes fêtes à tous
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#2 25-12-2014 00:21:18
- Fred
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Re : Théorème des fonctions implicites
Bonsoir,
As-tu consulté cette page, et comprends tu ce qui est écrit dedans??? Tu dois t'en inspirer pour ton exercice.
F.
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#3 25-12-2014 01:44:15
- jimijims
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Re : Théorème des fonctions implicites
Bonsoir, oui je comprends cette page, j'en ai d'ailleurs consulté plusieurs sur le net mais plusieurs choses me bloquent :le fait que c'est du type f(4 variables) = (2 expressions), mais également le fait que je n'ai pas d'exemples montrant comment faire... Bizarre je comprends en ayant toujours un exemple, mais impossible d'en trouver un qui colle avec le mien, y'a toujours quelque chose qui me fait bloquer du coup.
Y'a t-il un histoire de jacobien qui doit être non nul dans l'exercice ?
Merci de ta réponse, surtout en ce jour.
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#4 26-12-2014 10:37:27
- Fred
- Administrateur
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Re : Théorème des fonctions implicites
Re,
En fait, c'est pareil qu'en une seule variable. Tu calcules la matrice jacobienne de ton application [tex]f[/tex]. C'est une application qui comporte
deux lignes et quatre colonnes. Tu extrais ensuite les colonnes correspondant à (u,v) (pour la première question). Tu obtiens une matrice 2x2. Si elle est inversible, alors on peut exprimer (u,v) en fonction de (x,y).
Fred.
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#5 26-12-2014 21:43:10
- jimijims
- Membre
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Re : Théorème des fonctions implicites
Merci :)
La matrice Jacobienne est [tex]\left(\begin{matrix}\text{e}^x\cos{(y)} & -\text{e}^x\sin{(y)} & - 1 &0\\\text{e}^x\sin{(y)} &\text{e}^x\cos{(y)} & 0 & - 1\end{matrix}\right)[/tex].
Ainsi la matrice [tex]\left(\begin{matrix}-1 & 0\\0 & - 1\end{matrix}\right)[/tex] correspond à [tex](u ; v)[/tex].
[tex]\left|\begin{matrix}-1 & 0\\0 & - 1\end{matrix}\right| = 1 \neq 0[/tex] donc la matrice est inversible et on peut résoudre localement [tex](u ; v)[/tex] en fonction de [tex](x ; y)[/tex].
Par contre, comment déterminer les points [tex](x_0, y_0, u_0, v_0)[/tex] pour lesquels on peut résoudre ?
Encore merci de l'aide !
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#6 27-12-2014 08:37:12
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
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Re : Théorème des fonctions implicites
Merci :)
La matrice Jacobienne est [tex]\left(\begin{matrix}\text{e}^x\cos{(y)} & -\text{e}^x\sin{(y)} & - 1 &0\\\text{e}^x\sin{(y)} &\text{e}^x\cos{(y)} & 0 & - 1\end{matrix}\right)[/tex].
Ainsi la matrice [tex]\left(\begin{matrix}-1 & 0\\0 & - 1\end{matrix}\right)[/tex] correspond à [tex](u ; v)[/tex].
[tex]\left|\begin{matrix}-1 & 0\\0 & - 1\end{matrix}\right| = 1 \neq 0[/tex] donc la matrice est inversible et on peut résoudre localement [tex](u ; v)[/tex] en fonction de [tex](x ; y)[/tex].
Par contre, comment déterminer les points [tex](x_0, y_0, u_0, v_0)[/tex] pour lesquels on peut résoudre ?
Puisque ton jacobien est toujours non nul, on peut toujours résoudre!
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#8 27-12-2014 13:39:10
- jimijims
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- Messages : 30
Re : Théorème des fonctions implicites
Voici ce que j'ai trouvé :
b) Il faut que le déterminant de [tex]\left(\begin{matrix}\text{e}^x\cos{(y)} & 0\\\text{e}^x\sin{(y)} & - 1\end{matrix}\right)[/tex] soit non nul, c'est-à-dire que [tex]-\text{e}^x\cos{(y)} \neq 0 \Leftrightarrow cos(y)\neq 0 \Leftrightarrow y \in \mathbb{R} \backslash \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}[/tex]
Donc on peut résoudre localement le couple [tex](x,v)[/tex] en fonction de [tex](y, u)[/tex] pour tous points [tex](x_0,y_0,u_0,v_0)[/tex] tel que [tex]x_0,u_0,v_0 \in \mathbb{R}[/tex] et [tex]y_0 \in \mathbb{R} \backslash \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}[/tex].
c) Il faut que le déterminant de [tex]\left(\begin{matrix}\text{e}^x\cos{(y)} & -\text{e}^x\sin{(y)}\\\text{e}^x\sin{(y)} & \text{e}^x\cos{(y)}\end{matrix}\right)[/tex] soit non nul, c'est-à-dire [tex]\left(\text{e}^x\cos{(y)}\right)^2 + \left(\text{e}^x\sin{(y)}\right)^2 \neq 0[/tex] et donc [tex]y \in \mathbb{R} \backslash \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi ; k\pi\right\}[/tex].
Donc on peut résoudre localement le couple [tex](x,y)[/tex] en fonction de [tex](u, v)[/tex] pour tous points [tex](x_0,y_0,u_0,v_0)[/tex] tel que [tex]x_0,u_0,v_0 \in \mathbb{R}[/tex] et [tex]y_0 \in \mathbb{R} \backslash \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi ; k\pi\right\}[/tex].
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