Probabilités - simulation

cirdeco · 09-12-2014 10:08:58

Bonjour,
A et B sont deux points d'une droite graduée.
L'abscisse a de A est un nombre aléatoire de l'intervalle ] - 1 ; 0]
L'abscisse b de B est un nombre aléatoire de l'intervalle [ 0 ; 1[
Quelle est la probabilité que la distance AB soit strictement inférieure à 0,5.

J'ai construit un programme de simulation et j'ai trouvé la conjecture suivante (avec des échantillons de taille 10000) : une probabilité de l'ordre de 0,12 - 0,13.
Mais je n'arrive pas à le prouver.
Est-ce possible ?
Merci d'avance.
C.

Fred · 09-12-2014 13:53:23

Salut,

Oui, on peut le prouver, et je peux même te dire que la probabilité vaut exactement [tex]\frac{1}{8}[/tex]. Voici une preuve "visuelle".
Notons X la variable aléatoire correspondant à l'abscisse de A, et Y la variable aléatoire correspondant à l'abscisse de B.
Tu cherches la probabilité que [tex]Y\leq X+\frac 12[/tex].
Maintenant, si tu regardes le couple (X,Y), tu tires un point au hasard dans le carré [tex] [-1,0]\times [0,1] [/tex]. Sous l'hypothèse d'indépendance entre X et Y, [tex](X,Y)[/tex] suit une loi uniforme sur le carré [-1,0]x[0,1] (qui est d'aire 1). Ceci signifie que, si tu prends une surface S contenue dans ce carre, alors
[tex] P( (X,Y)\in S)=\textrm{aire}(S)[/tex].
Toi, tu cherches l'aire de la surface [tex]X\in [-1,0], Y\in [0,1], Y\leq X+\frac 12[/tex]. C'est un triangle d'aire 1/8.

Fred.

cirdeco · 10-12-2014 14:40:35

Bonjour,
merci beaucoup, vous m'avez permis de comprendre la conjecture avec beaucoup de clarté et en pouvant me rattacher à mon cours sur la loi uniforme.
J'aurais un autre problème que j'ai réussi à modéliser mais pas à prouver.
On dispose d'un spaghetti de longueur 20 cm que l'on casse au hasard en trois morceaux (2 cassures).
J'ai trouvé, grâce à un tableur, que la probabilité que les 3 morceaux forment un triangle (éventuellement aplati) semble être 0,25. Mais pourquoi ?
Merci d'avance.
C.

Fred · 10-12-2014 18:17:28

Bonjour,

C'est un problème déjà nettement plus dur. D'abord, il faudrait préciser comment tu le casses en 3 morceaux. En deux (au hasard) puis encore en deux un bout restant? En tirant 2 nombres au hasard dans [0,20], en les ordonnant et en prenant la longueur des 3 morceaux???

F.

cirdeco · 12-12-2014 14:28:53

Bonjour,
la modélisation que j'ai faite serait la suivante :
j'ai noté A et B les extrémités du spaghetti et attribué à ces points respectivement les abscisses 0 et 20.
Et ensuite il s'agit de choisir au hasard les abscisses de deux points P et Q du segment [AB], P étant plus proche de A que Q.
Le triangle est constructible si la longueur maximum (parmi AP, PQ et QB) est inférieure ou égale à la somme des deux autres.
Merci pour votre aide éventuelle !
C.

totomm · 12-12-2014 17:13:58

Bonsoir,

cirdeco a écrit :

j'ai noté A et B les extrémités du spaghetti et attribué à ces points respectivement les abscisses 0 et 20.
Et ensuite il s'agit de choisir au hasard les abscisses de deux points P et Q du segment [AB]

Il faut donc voir si P et Q sont dans la même moitié : le triangle ne peut exister.
Au cas contraire le triangle n'existe que si la distance PQ est inférieure à la moitié de AB :
c'est le premier exercice avec distance < 1 au lieu de 0.5

Fred · 12-12-2014 18:20:29

Bonsoir,

Je ne suis pas trop d'accord avec Totomm (ou alors je n'ai pas compris ce qu'il voulait dire, ce qui est tout à fait possible...).
Voici comment je vois les choses :
* tu tires un réel x au hasard dans [0,1] (prendre 20 ou 1 ne change rien à la probabilité finale, c'est juste un changement d'échelle)
* tu tires un réel y au hasard dans [0,1]

Tu cherches l'aire de l'ensemble des x,y pour lesquels on pourra constituer un triangle. Il y a 6 cas possibles :
* Cas 1, y>=x et la plus grande longueur est x
* Cas 2, y>=x et la plus grande longueur est y-x
* Cas 3, y>=x et la plus grande longueur est 1-y
* Cas 4, y<=x et la plus grande longueur est y
* Cas 5, y<=x et la plus grande longueur est x-y
* Cas 6, y<=x et la plus grande longueur est 1-x

Par des considérations de symétrie (ou alors, il faut faire tous les calculs!), ces 6 cas sont équiprobables, et donc on ne doit analyser que le premier cas.
On cherche donc l'aire des points de coordonnées (x,y) tels que
* [tex]0\leq x\leq y\leq 1[/tex]
* [tex]x\geq y-x, x\geq 1-y[/tex]
* [tex]x\leq y-x+1-y\iff x\leq 1/2[/tex]
Un petit dessin, et on se rend compte qu'il s'agit du triangle de sommet A(1/2,1/2), B(1/3,2/3) C(1/2,1).
L'aire de ce triangle est 1/24.

Comme il y a 6 cas comme cela, l'aire finale, qui est la probabilité recherchée, vaut 1/4.

Fred.

freddy · 12-12-2014 19:03:55

Fred a écrit :

Bonjour,
C'est un problème déjà nettement plus dur.
D'abord, il faudrait préciser comment tu le casses en 3 morceaux :
1 - En deux (au hasard) puis encore en deux un bout restant (choisi au hasard) ?
2 - En tirant 2 nombres au hasard dans [0,20], en les ordonnant et en prenant la longueur des 3 morceaux???
F.

Salut,

c'est en effet le point central de ce joli problème
Fred a retenu la méthode 2.
Je propose à totomm (sans challenge, bien entendu) de le résoudre avec la méthode 1. Résultat inattendu garanti !

Dernière modification par freddy (14-12-2014 04:45:21)

totomm · 12-12-2014 19:23:02

Bonsoir,

@Fred : je ne voulais pas donner le détail des résultats.
Voici mon raisonnement pour simplifier les cas possibles :

totomm a écrit :

il faut donc voir si P et Q sont dans la même moitié : le triangle ne peut exister

Une fois P fixé dans une moitié, Q a une probabilité de 0.5 de tomber dans la même moitié
donc, avec une probabilité de 0.5 :

totomm a écrit :

Au cas contraire le triangle n'existe que si la distance PQ est inférieure à la moitié de AB

c'est le premier exercice avec distance < 1 au lieu de 0.5 (en considérant toujours un carré de coté 1)
qui donne une probabilité Pr(Y<X+1) = 0.5

au total : Pr(P et Q dans moitiés différentes) x Pr(PQ<1) = 0.5 x 0.5 = 0.25

totomm · 12-12-2014 19:30:16

Bonsoir,

Ami freddy, je m'attendais à ce challenge, mais l'intervention de Fred (qui confirmera ou infirmera surement mon raisonnement détaillé) m'a coupé tous mes moyens. je n'annoncerai surement pas 0.25 avec la méthode 1.

Fred · 12-12-2014 20:18:05

totomm a écrit :

Bonsoir,
Ami freddy, je m'attendais à ce challenge, mais l'intervention de Fred (qui confirmera ou infirmera surement mon raisonnement détaillé)

Je confirme, je n'avais pas bien compris, c'est tout!

m'a coupé tous mes moyens.

Il ne faut pas. Challenge intéressant effectivement avec la méthode 1.

Fred.

totomm · 13-12-2014 09:51:19

Bonjour,

@ Fred : quand j'ai écrit "m'a coupé tous mes moyens" C'était que votre :
"Je ne suis pas trop d'accord avec Totomm (ou alors je n'ai pas compris ce qu'il voulait dire, ce qui est tout à fait possible...)." était une magistrale atteinte à la crédibilité de mon exposé... que freddy s'est empressé de pilonner un peu...

Pourtant j'allais publier le résultat de mes calculs avec la "méthode 1 - En deux (au hasard) puis encore en deux un bout restant".
La probabilité de pouvoir faire un triangle est de 0.3862943612 sous réserve de casser en second (au hasard) le morceau le plus long.

et cette valeur comparée au 0.25 de la méthode 2 est normale car en choisissant le morceau le plus long, on injecte de l'information entre les deux "cassures au hasard".

Mais je sens déjà crépiter l'impatience dubitative de freddy : "oui, mais si on tire le deuxième morceau au hasard avant de le casser ?"
Eh bien, à vous freddy !

Fred · 13-12-2014 16:59:28

totomm a écrit :

@ Fred : quand j'ai écrit "m'a coupé tous mes moyens" C'était que votre :
"Je ne suis pas trop d'accord avec Totomm (ou alors je n'ai pas compris ce qu'il voulait dire, ce qui est tout à fait possible...)." était une magistrale atteinte à la crédibilité de mon exposé... que freddy s'est empressé de pilonner un peu...

J'avais quand même écrit "ou alors je n'ai pas compris ce qu'il voulait dire, ce qui est tout à fait possible..."!

freddy · 14-12-2014 05:01:12

totomm a écrit :

Bonjour,
@ Fred : quand j'ai écrit "m'a coupé tous mes moyens" C'était que votre :
"Je ne suis pas trop d'accord avec Totomm (ou alors je n'ai pas compris ce qu'il voulait dire, ce qui est tout à fait possible...)." était une magistrale atteinte à la crédibilité de mon exposé... que freddy s'est empressé de pilonner un peu...

Il est pénible, le jeune homme :-(

totomm a écrit :

Pourtant j'allais publier le résultat de mes calculs avec la "méthode 1 - En deux (au hasard) puis encore en deux un bout restant".
La probabilité de pouvoir faire un triangle est de 0.3862943612 sous réserve de casser en second (au hasard) le morceau le plus long.
et cette valeur comparée au 0.25 de la méthode 2 est normale car en choisissant le morceau le plus long, on injecte de l'information entre les deux "cassures au hasard".
Mais je sens déjà crépiter l'impatience dubitative de freddy : "oui, mais si on tire le deuxième morceau au hasard avant de le casser ?"
Eh bien, à vous freddy !

Simple, ce devrait être égal à [tex]\frac{ 0.3862943612 }{2}=0,19314718106...[/tex], puisque on a une chance sur deux de choisir le bris le plus court (et la proba de faire un triangle est alors nulle), et une chance sur deux de choisir le plus long, avec la proba que tu donnes.

Mais comment en être certain ? ... C'est ça, la jolie question de mathématiques !
On you, cher ami :-)))

freddy · 14-12-2014 09:43:20

Salut,

je me demande où est passé yoshi ?

yoshi · 14-12-2014 10:37:23

Salut,

Je suis là, je veille toujours...
Je prends seulement de la distance et j'essaie de répondre le moins possible (de plus, beaucoup de probas, et pas des plus classiques), pour ne pas avoir à user des ciseaux d'Anastasie.
Ainsi notre vénérable ancien - en particulier - peut répondre à sa guise et apprécier (diversement ^_^) les réponses.
Même qu'il me semble qu'il y ait de l'écho ;-)

Et mon association m'occupe pas mal : j'ai bouclé (et remis à l'imprimeur) ma revue trimestrielle, mais voilà que j'ai deux autres fers au feu : le choix d'un hôtel pour une AG, et des randos pour un séjour de 10 jours dans les Alpes...

Ça va aller mieux...

Vale tibi !

@+

totomm · 14-12-2014 11:14:46

Bonjour,

Il est donc temps que cirdeco ait la justification du résultat de freddy.

Auparavant, au niveau lycée, est-ce que l'on comprend et sait résoudre [tex]P_T=\int_0^{0.5} dx \int_{0.5-x}^{0.5} \frac{dy}{1-x}[/tex] ?
La solution est [tex]Ln(2) - 0.5 = 0.1931471806[/tex] citée par freddy.

Si oui, je donnerai la solution en détail (ou freddy peut le faire), sinon on en restera à la méthode 2.

Edit : Ma question intègre la menace de censure de yoshi (ses ciseaux d'Anastasie) :-))

Dernière modification par totomm (14-12-2014 13:11:12)

cirdeco · 14-12-2014 18:25:23

Bonsoir,
merci infiniment pour tous ces exposés que je reprendrai à tête reposée pendant les vacances de Noël.
Votre sens aigu de la rigueur et du détail me permettront de comprendre !
Par contre, les intégrales doubles ne sont pas au programme de Terminale Scientifique.
Encore merci à tous !
C'est vraiment très rassurant qu'un site comme le vôtre existe !
C.

freddy · 15-12-2014 13:32:00

Salut,

tiens, une mine d'or pour ce sujet et d'autres : trisection aléatoire du bâton car en réalité, c'est un classique en matière de calcul de probabilités et de la mise en oeuvre de la notion de "hasard" dans les choix que nous faisons.

C'est pourquoi Fred a tout de suite demandé comment tu brisais ton spaghetti :-)

Have fun, c'est mon cadeau de Noêl !

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