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#1 08-12-2014 19:30:58
- hectors
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Montrer qu'une fonction est intégrable
Bonjour à tous, je bloque sur un exo dont je n'arrive pas à trouver la solution, quelqu'un pourrait-il m'aider ?
L'énoncé:
Montrer que la fonction : f [0; 1] -> R définie par
f(x) = 0 si x appartient à Q INTER [0; 1]
f(x) = 1 si x n'appartient Pas à Q INTER [0; 1]
n'est pas intégrable.
Merci d'avance.
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#2 08-12-2014 22:48:14
Re : Montrer qu'une fonction est intégrable
Bonsoir,
Soit [tex]\sigma[/tex] une subdivision de l'intervalle [0,1], en notant respectivement [tex]s_{[0,1]}(f,\sigma ) [/tex] et [tex]S_{[0,1]}(f,\sigma ) [/tex] les sommes de Darboux supérieure et inférieure associées, à quoi sont-elles égales ?
Dernière modification par Choukos (08-12-2014 23:18:11)
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#3 09-12-2014 23:42:23
Re : Montrer qu'une fonction est intégrable
Bonsoir,
Je repasse pour rajouter une indication, pour calculer la somme de Darboux inférieure, utilise la densité des rationnels dans les réels et pour calculer la somme de Darboux supérieure, utilise la densité des irrationnels dans les réels.
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#4 14-12-2014 09:57:39
Re : Montrer qu'une fonction est intégrable
Bonjour,
Tu aurais au moins pu répondre quelque chose... Bref, finissons le boulot, il n'y a plus qu'à conclure.
Soit [tex]\sigma=(x_0=0,x_1, \ldots, x_n=1)[/tex] une subdivision de l'intervalle [0,1].
Par densité de [tex]\mathbb{Q}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex], pour tout i entre 1 et n il existe un rationnel appartenant à l'ouvert [tex]]x_i,x_{i+1}[[/tex]. Donc l'infimum de f sur [tex]]x_i,x_{i+1}[[/tex] est atteint et est égal à 0.
Donc [tex]s_{[0,1]}(f,\sigma)=\sum_{i=1}^{n}{0\cdot (x_{i+1}-x_i)}=0[/tex].
Par densité de [tex]\mathbb{R}- \mathbb{Q}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}[/tex], il existe un irrationnel appartenant à l'ouvert [tex]]x_i,x_{i+1}[[/tex]. Donc le supremum de f sur [tex]]x_i,x_{i+1}[[/tex] est atteint et est égal à 1.
Donc [tex]S_{[0,1]}(f,\sigma)=\sum_{i=1}^{n}{1\cdot (x_{i+1}-x_i)}=1[/tex].
[tex]S_{[0,1]}(f,\sigma)-s_{[0,1]}(f,\sigma) =1[/tex] indépendamment de la subdivision choisie, f n'est donc pas (Riemann-)intégrable.
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