Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Yurienu

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Limite indécidable pour une fonction réelle

Bonjour à toutes et à tous,

Ca y est je franchis le pas: je m'inscris sur le forum :) Jeune doctorant en économie théorique, j'ai une curiosité insatiable pour les mathématiques entre autre (et ma filière bien entendu). J'ai donc essayé de combler les trous de ma formation initiale en lisant beaucoup de livres et en assistant à quelques cours à Jussieu de L3 Maths et tout cela m'a beaucoup apporté (topo, mesure, analyse convexe, graphes...etc). Je me suis donc dis maintenant: j'ai pas mal de questions ouvertes qui me viennent à l'esprit mais dont il est difficile de trouver des réponses sur des sites non-forums et le coin du café mathématique me semble l'idéal :) Voila pour ma petite présentation.

Je donne des TD de maths aux jeunes économistes en herbe en L1 et l'un d'eux m'a posé une question intéressante: nous faisions des exercices sur des limites de fonctions réelles standards (quotients de polynomes, racines, exponentielles..etc) et nous utilisions donc quelques techniques simples pour résoudre des formes indéterminées (changement de variable, équivalents, croissances comparées, quantités conjuguées et tout le petit arsenal). Ce dernier m'a donc posé une question simple "existe-t-il une fonction réelle dont on ne sait pas conclure sur sa limite ?" (en un point ou en l'infini peu importe mais donc un exemple d'une fonction réelle dont on ne sait pas l'existence ou non de la limite recherchée).

Du coup la question est subtile et m'a amenée à la réflexion suivante: en toute généralité, l'ensemble des fonctions réelles est énorme et je sais qu'en général on peut construire des objets très vicieux par passage à la limite, implicitement...etc. Du coup, a priori une question plus faible serait déjà: "existe-t-il une fonction exprimable dont l'existence ou non d'une de ses limites n'est pas connue ?". Par "exprimable" (c'est un nom made in moi mais je pense que des gens ont déjà du réfléchir à ce genre de choses ) j'entends: une fonction qui peut se décomposer comme étant le résultat d'une suite finie d'opérations élémentaires (x, + et composition) sur des fonctions réelles "élémentaires" (disons l'ensemble des polynômes à coefficients rationnels + logarithme népérien + exponentielle de base e + 1/x). Je sais que je rate pas mal de fonctions (comme la valeur absolue par exemple) mais bon je pense qu'une première réponse sur ce sous ensemble serait un début (surtout pour lui apporter une réponse simple car a priori en L1, ils ont tendance à ne penser qu'à ces fonctions là).

Avec toutes les techniques de changement de variable + quantités conjuguées + développements limités ...etc je me dis qu'il doit être possible de résoudre toutes les limites possibles de ces fonctions "représentables" mais ce n'est qu'une intuition :)

Ensuite un 2e point que je trouve intéressant à montrer à cet étudiant curieux: il me semble que je peux montrer facilement que cet ensemble de fonctions "exprimables" est de cardinal dénombrable (je peux le voir comme l'union de produits cartésiens finis d'ensembles dénombrables si je n'ai pas fait d'erreur) du coup il est minuscule (au sens de la cardinalité) par rapport à l'ensemble des fonctions réelles (ça me met toujours un peu le vertige en y pensant). J'ai un ami qui a un ami matheux qui lui a dit qu'il y avait des résultats du type: l'ensemble des fonctions "représentables" est de mesure nulle (quelle mesure ?) dans l'ensemble des fonctions réelles ou quelquechose comme ça et il me semble par ce qu'il entend par "représentables" est plus vaste que ma seule définition bricolée de "exprimable".

Voila c'est un peu long mais c'est une discussion ouverte, si vous avez des pistes, des références à me donner sur les points évoqués, des réfléxions/intuitions personnelles ou même carrément une solution avec un contre exemple je suis preneur et ravis de discuter de cela :)

En vous remerciant !

Mathématiquement à tous.

tibo

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Re : Limite indécidable pour une fonction réelle

Salut,

A ma connaissance, pour toute fonction réelle, on est capable de déterminer en tout point de l'adhérence de son ensemble de définition si cette fonction admet une limite (finie ou non).

Par contre il existe des réels (une infinité en fait) que l'on ne peut pas décrire avec une suite finie d'opération +, -, *, / et racine carré. Je n'ai pas d'exemple sous la main, mais il doit être facile de construire une fonction "simple" dont la limite en un point existe, est finie, mais dont on ne peut pas décrire ce réel avec les opérations usuelles.

Mieux encore, il existe des fonctions donc la limite en un point n'existe pas.
L'exemple le plus connu est la limite en 0 de la fonction [tex]x\mapsto sin\left(\frac{1}{x}\right)[/tex].
Cette limite n'existe pas. En effet, cette fonction va osciller entre -1 et 1 de plus en plus vite quand x tend vers 0.

Voila j'espère avoir en partie répondu à tes interrogations.

Dernière modification par tibo (03-12-2014 12:14:57)

freddy

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Re : Limite indécidable pour une fonction réelle

Salut,

pour compléter la réponse de Tibo, tu ne semble ne pas connaître  l'ensemble des fonctions dites "spéciales", qui s'expriment par exemple sous forme d'intégrale (et pas que ...) sans expression analytique "simple" et qui servent pourtant au quotidien.
Celles avec lesquelles on fait joujou en cours sont en effet en nombre très limité par rapport à celles dont on a besoin dans bien des domaines nécessitant des calculs précis. Je pense à la statistique mathématique, mais je sais que dans des domaines dits d'ingénieurs, il y en a pléthore.

Yurienu

Membre

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Re : Limite indécidable pour une fonction réelle

Merci pour vous réponses.

Donc pour résumé:

- il est vrai qu'il y a plusieurs questions dans la question: tout d'abord en ce qui concerne l'existence ou non, la réponse de Tibo semble donc dire "si on me donne une fonction réelle et un point de l'adhérence de son ensemble de définition, je suis capable de répondre par oui ou non à la question: existe-t-il une limite ?". Donc c'est déjà assez fort je peux au moins résoudre l'existence si on me donne la fonction ça répond à la question de l'étudiant (il me semble même s'il ne l'a pas formulé ainsi, qu'il avait en tête la réponse à la question de l'existence). Du coup c'est trivial comme preuve cela ?

- Ensuite le deuxième point est: si je sais que la limite existe: puis-je la calculer et donner son expression ? L'existence donc de nombres non exprimables comme suite finie d'opération ([tex]e[/tex] ou [tex]\pi[/tex] en font partie il me semble ?) semble dire que non. Un point plus intéressant est: pas besoin de fonctions définies implictement...etc même une fonction avec une expression "simple" (ce que j'appelais "exprimable") peuvent converger vers de tels nombres (donc on sait écrire la fonction mais pas sa limite).

Pour [tex]sin(1/x)[/tex], je connaissais effectivement l'exemple mais elle rentre donc dans la catégorie des fonctions où je peux répondre à la question de l'existence ou non (je voulais éventuellement des fonctions ou on ne sait pas répondre).

Pour les fonctions spéciales, j'en connais un peu oui (beta et gamma notamment, la fonction de répartition de la loi normale aussi en fait partie il me semble ?). Du coup elles rentraient dans les fonctions "non exprimables" (au sens de ma petite définition) car elles sont définies par passage à la limite ou "implicitement" (dans le sens via l'opérateur d'intégration mais j'ai peut être mal choisis mes mots en utilisant "implicite").

Ensuite je suppose que même avec les fonctions spéciales ajoutées à mes petites "exprimables" il reste infiniment plus d'éléments dans [tex]R^{R}[/tex]. Déjà, est ce qu'on a une idée de la cardinalité de ce monstre ? J'aurais tendance à dire que c'est au moins [tex]2^{c}[/tex] vu que ça contient les fonctions indicatrices (ça a du sens de noter [tex]c^{c}[/tex] comme cardinal ?). Ensuite au sens topologique, est ce que l'ensemble est séparable ? A priori je dirais non car on a [tex]L^{\infty}(R)[/tex] dedans qui ne l'est pas. Du coup je me demande: qu'est ce qu'on "connait" de cet ensemble ? Est ce que connait un ensemble dense de fonctions dedans avec lesquelles on sait travailler ? Ou on demeure "ignorant" d'une grande partie des ses éléments ?

tibo

Membre expert

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Re : Limite indécidable pour une fonction réelle

Re,

Pour le premier point, je ne sais pas s'il en existe une preuve. A vrai dire je ne sais même pas si c'est vrai. Mais j'ai beau y réfléchir je n'arrive pas à construire de fonction dont on ne pourrait pas déterminer si la limite existe ou non.