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mad83

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Messages : 39

Problème factorisation polynôme.

Bonsoir!

Je peine à comprendre un sujet de CCP sur les polynômes. Enfin il ne semble pas difficile mais j'ai du mal à saisir ce qu'ils demandent de faire.
(lien vers le sujet: http://ccp.scei-concours.fr/deug/sujet/ … maths1.pdf )
Regarder exercice 3.

Alors il s'agit d'un exercice dans lequel on cherche à trouver la valeur de cos(2pi/5), en se servant des racines du polynôme P= X^5-1.

D'abord on nous demande de trouver les racines du polynôme dans C. Jusqu'ici pas de problème.
Ensuite, on nous demande de l'écrire sous forme de produit de polynômes irréductibles dans R[X].
Cela nous fait donc:  X^5-1 = (X-1)(X^4+X^3+X^2+X+1)
On pose: Q= (X^4+X^3+X^2+X+1)

Et là, on nous demande si P est divisible par (X-1). Cela semble assez logique, au pire on défini ce que c'est qu'être divisible et on s'aide de la factorisation précédente.
Puis, on doit calculer le quotient (X^5-1)/(X-1).
Mais le résultat n'est pas Q??? Parce que j'ai l'impression de tourner en rond.
Mais du coup, la question suivante est de donner une factorisation de Q dans R[X].
Sachant que Q est irréductible, comment fait-on???

Je pense que comprendre ça me permettra de faire le lien avec le calcul de la valeur cherchée.

Merci par avance pour votre aide, bonne soirée.

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 801

Re : Problème factorisation polynôme.

Bonsoir,

Je ne sais pas exactement comment sont les questions (je n'ai pas ouvert le lien...) mais ce qui est certain c'est que Q n'est pas irréductible sur [tex]\mathbb{R[X]}[/tex] puisqu'il est de degré 4.
Tu dois pouvoir le factoriser en deux polynômes de degré 2 (en utilisant ses racines complexes deux à deux conjuguées).

Bon maintenant je lis l'énoncé que je viens d'ouvrir :

Question 1(a) OK tu l'as fait.

Question 1(b) C'est ce que j'écris juste au dessus

Question 2 Effectivement un peu idiot comme question si on utilise la question 1. Je pense qu'il faut faire ce que tu as dit : écrire [tex]Q=X^4+X^3+X^2+X+1[/tex].

Question 3 Il faut reprendre 1(b) et diviser par [tex]X-1[/tex]
On doit trouver [tex]Q=(X^2-2\alpha X + 1 )(X^2-2\beta X + 1 )[/tex]

Question 4 On développe et on compare à la question 2

Question 5 [tex]\alpha[/tex] et [tex]\beta[/tex] sont les racines de [tex]X^2+S X + P[/tex] où [tex]S=\alpha+ \beta[/tex] et [tex]P=\alpha \beta[/tex].

Roro (je répond rapidement car je file me coucher...)