Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bob

Invité

Suite (sans fin ?)

Bonjour à toutes et tous,

[tex]\frac {U_{n+1}} {U_n}[/tex]

on a donc une suite [tex]U_{n}= \frac{n-1}{n+1}[/tex]  définie pour n >= 2

et on a une autre suite (pourquoi se priver !) : [tex]P_{n}=U_{2}*U_{3}*....U_{n}[/tex] dont le terme général est le produit des n-1 premiers termes de la suite (Un).

J'ai réussi à démonter que Un est croissante et que Pn est décroissante ...
Mais il faut démontrer que :
[tex]P_{n}={2 \over {n^2+n}[/tex]
là faut dire que je cale. Donc si vous avez (et je suis sur(e) ;-)  que vous en avez)  merci de m'en faire part

A vous lire
votre Bob dévoué

[EDIT] J'ai édité ton post pour le rendre plus "zouli"...
Qu'as-tu voulu faire avec ton :
[tex]\frac {U_{n+1}} {U_n}[/tex] ?
Bravo de t'être lancé dans Latex. Pour plus d'info : http://fr.wikipedia.org/wiki/Aide:Formules_TeX

Yoshi

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Suite (sans fin ?)

Je te donne une indic. Ecris par exemple ce que vaut P_6...
Ecris le en détail, comme fraction avec un numérateur qui est le produit de 5 termes et un dénominateur qui est le produit de 5 termes également. Puis regarde les simplifications qui apparaissent!
Fais pareil ensuite pour le cas général...

yoshi

Modo Ferox

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Re : Suite (sans fin ?)

Bonjour,

Mon modem-routeur me fait des blagues, sinon j'aurais posté avant Fred...
Oui Fred, ça a été ma première idée...
Mais ensuite, je me suis dit que ça sentait la récurrence à plein nez...

Rappel (pour Bob)
On montre que c'est vrai pourune valeur simple, par exemple n = 3
On suppose que c'est vrai pour Pn
Et on montre que c'est vrai pour Pn+1 transmission de l'héritage, je crois qu'on dit maintenant).

[tex]P_{n+1}=P_n\;*\;\frac{n+1-1}{n+1+1}[/tex]
Sachant que pour Pn, on part de n²+n soit de n(n + 1), Bob à quoi dois-tu t'attendre pour l'indice n + 1 ?

@+

Bob

Invité

Re : Suite (sans fin ?)

Donc en prenant la méthode de Yoshi on obtiendrait:

P3 = U2*U3 = 2/12 = 2/(3²+3)

On suppose que c'est vrai pour n donc que Pn = 2/(n²+n)

et on démontre que c'est vrai por n+1

j'écris donc P(n+1) = Pn*U(n+1) = {2/(n²+n)} * {n/(n+1+1)}

soit P(n+1) = 2n/(n²+n)(n+2) = 2n/n(n+1)(n+1 +1) = 2 / (n+1)² + (n+1)  CQFD !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Je suis le meilleur non ??? aprés Yoshi bien sûr qui a indiqué la méthode....

Par contre je vois pas trop comment m'en sortir en suivant la méthode de Fred car c'est un peu comme il dit qu'au début j'avais essayé de faire. Mais si on écrit P4 = U2*U3*U4  puis P4 = (1/3)(2/4)(3/5) et puis on fait quoi aprés ???  ou alors il faut écrire en fonction de n ???

Bob

Invité

Re : Suite (sans fin ?)

le message précédent a été validé sans sa fin (mauvaise manip)
donc écrire en fonction de n mais comment... je suis preneur d'idées....

Pour latex désolé de ne pas avoir persisté mais c'est l'enfer à manipuler par contre le "rendu" est super pour les fractions...
Merci

A vous lire
Votre Bob dévoué

john

Membre actif

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Re : Suite (sans fin ?)

... mais quel fayot ce Bob, après avoir insulté les flics de BM, à peine j'y crois pô ! (mdr)

Bon, si tu avais suivi le conseil de fred, tu aurais écrit :
P6 = 1.2.3.4.5/3.4.5.6.7
tits
P6 = 2.(5!/7!) qui se généralise directement en Pn = 2.(n-1)!/(n+1)! et qui se simplifie directement en cqfd.
Bonne soirée
A+

yoshi

Modo Ferox

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Messages : 17 404

Re : Suite (sans fin ?)

Bonsoir,

Bob a écrit :

Pour latex désolé de ne pas avoir persisté mais c'est l'enfer à manipuler...

Vrai ! J'en ai bavé au début (encore maintenant d'ailleurs), mais je trouve que le jeu en vaut la chandelle ! En outre, j'ai un petit avantage : l'éditeur d'équations de la suite bureautique libre et gratuite OpenOffice.org peut fonctionner comme ça, avec une syntaxe très très voisine...

Bon, en ce qui concerne le post de Fred, voilà je pense ce qu'il te suggérait :
[tex]P_6={1 \over 3}\times {2 \over 4}\times {3 \over 5}\times {4 \over 6}\times {5 \over 7}={{1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5} \over {3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7}}[/tex]
Après tu simplifies le 3 du bas avec le 3 du haut, le 4 du bas avec le 4 du haut, le 5 du bas avec le 5 du haut et il reste :
[tex]P_6={{1\times 2}\over{6 \times 7}}={2 \over 42}={2 \over {36+6}}={2 \over {6^2+6}}[/tex]

Donc pour Pn
[tex]P_n={1 \over 3}\times {2 \over 4}\times {3 \over 5}\times {4 \over 6}\times {5 \over 7}...\times {{n-1}\over{n+1}}[/tex]
Tu recommences à simplifier, même blabla et tu termines par je simplifie le (n-1) du bas avec le (n-1) du haut et il me reste le dénominateur des 2 dernières fractions soit n et (n+1) et les deux premiers numérateurs soit  1 et 2, d'où :
[tex]P_n={{1 \times 2} \over {n\times(n+1) }}= {2 \over {n^2+n}}[/tex]

Ca fait moins de calculs certes, mais au risque de faire hurler Fred, je préfère la démo par récurrence, ça fait moins "Dédé la bricole" (et dire que c'est moi qui dit ça...!).

On dirait bien que tu découvres la beauté des maths ! N'y prendrais-tu pas goût ? Fais gaffe, on peut devenir accro !...

PS : Au moment de poster que vois-je ? John !
Es-tu sûr qu'il connaisse la factorielle dear John ?

En outre, John tu écris "qui se généraliise en...", si on peut procéder comme ça, à quoi sert donc d'apprendre à "récurrer" ? pour embêter ces chères têtes blondes qui sinon, n'auraient qu'à dire  : on généralise...
Ca me gêne fichtrement...

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Suite (sans fin ?)

Salut yosh',

  Pour moi, simplement, ce n'est pas vraiment une récurrence...
Simplement, le numérateur est le produit des entiers de 1 à  n-1,
le dénominateur le produit des entiers de 3 à n+1, je regarde ceux qu'il y a en commun
pour simplifier, et il reste en haut 2 et en bas n(n+1).

Si tu veux faire une récurrence pour cela, tu en as besoin pour toutes les sommes
télescopiques, et j'en passe...
Après que ce soit préférable d'enseigner ceci avec une récurrence au lycée, c'est une autre histoire.

Fred.

PS: Félicitations John pour ta promotion!

john

Membre actif

Inscription : 10-02-2007

Messages : 543

Re : Suite (sans fin ?)

Merci Fred, j'ai vu ça il y a peu. Le critère c'est quoi ? Le nombre de boufonneries ou le débit hebdo. ?
Bonne nuit.

galdinx

Modo gentil

Inscription : 21-06-2006

Messages : 507

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Re : Suite (sans fin ?)

Bonsoir,

John, pas de critères spéécifiques, je me suis amusé avec les jouets du forum et j'ai récompensé les membres les plus actifs justement et présent dans la vie du forum en ajoutant ce petit titre.
Si l'envie m'en prend je ferai évolué ca... mais dans la mesure ou ca n'est pas non plus essentiel, ca me semble etre un mesure suffisemment sobre pour perdurer quelques temps.

+++

Bob

Invité

Re : Suite (sans fin ?)

John, je ne crois pas avoir insulté les "flics de BM" mais tout au plus les avoir "asticoté" !  Et l'asticotage et le fayotage ne sont-ils pas les deux extrémités (qui se rejoignent ?) du même art qui est celui de la dérision ?

A vous lire
Votre Bob dévoué

john

Membre actif

Inscription : 10-02-2007

Messages : 543

Re : Suite (sans fin ?)

Hello galdinx,
Merci pour la médaille. Certes ce n'est pas la médaille Fields mais il y a un début à tout... Quoi ? Oui, oui, je sais, c'est faux pour Z.

Hello Bob,
... et voilà le travail, je suis victime de la censure et toi aussi par contre-coup. Ton message ayant été supprimé avant que j'aie pu le lire, j'ai imaginé le pire évidemment.

Hello les autres,
N'allez surtout pas croire que je suis contre toute censure. C'était juste pour mettre un peu d'huile sur le feu... en tant que membre actif.

Bon dimanche