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margot

Invité

TS démonstration par récurrence double

Bonjour je dois montrer par récurrence double cette propriété:

montrer que pour tout n appartient à N,   [tex](1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n \in \mathbb{N}[/tex]

Je n'arrive pas a l'hérédité... qqn pourrait-il m'aider svp ?

Merci d'avance

Margot

Dernière modification par yoshi (07-11-2014 13:40:27)

Fred

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Re : TS démonstration par récurrence double

Salut,

  Tu n'as aucune indication pour faire cet exercice?????
La solution la plus facile que je vois est de passer par la formule suivante :
si tu poses [tex]u_n=(1+\sqrt 2)^n+(1-\sqrt 2)^n[/tex], alors
[tex]u_{n+2}=2u_{n+1}+u_n[/tex].
Si tu as cette formule, la récurrence double est beaucoup plus facile à faire....

Fred.

margot

Invité

Re : TS démonstration par récurrence double

Salut,

Non je n'ai pas d'indication, il s'agit d'un DM de "recherche ..."
Merci de votre réponse mais je ne vois pas comment on passe de un à l'expression de un+2 que vous avez écrite...

Fred

Administrateur

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Re : TS démonstration par récurrence double

Moi, je partirais plutôt de [tex]2u_{n+1}+u_n[/tex]. Je mets [tex](1+\sqrt 2)^n[/tex] en facteur de [tex](2+2\sqrt 2+1)=(3+2\sqrt 2)=(1+\sqrt 2)^2[/tex]....
Et je fais pareil avec [tex](1-\sqrt 2)^n[/tex]