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albert

Invité

lunules de leonard de vinci

Bonjour, j'ai un dm à rendre pour la rentrée et je suis complètement perdue! Aidez moi svp merci d'avance.

Alors voila:
Dans un cercle de centre o et de rayon a est inscrit un carré ABCD

A. tracer les demi-cercles de diamètres [AB] [BC] [CD] et [DA] les parties qui sont extérieur au cercle de centre O sont les lunules.

B. l'objectif est de démontrer que la somme des aires des lunules est égale à l'aire du carré.
Pour cela calculer en onction de a:
              - le côté et l'aire du carré.
              - le rayon et l'aire de chacun des demi-cercles tels que le demi-cercle de diamètre [AB]

Par différence montrer que l'aire de chaque lunule est égale à a au carré diviser par 2. Conclure

Merci de votre aide

yoshi

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Re : lunules de leonard de vinci

Salut Albert,

Heuuu... Albert ??? Pourtant, tu écris :

je suis complètement perdue

Albert, Juliette ou qui que ce soit, il va te falloir utiliser le théorème de Pythagore et manier les les racines carrées... Là, tu n'es quand même pas perdu(e) ?

ABCD est un carré.
Si je pose AB=BC=CD=DA = d
Dans le triangle DAB, rectangle en A, tu as DB longueur de la diagonale = diamètre du cercle = rayon x 2 = 2a
Tu appliques le théorème de Pythagore au triangle DAB, et tu trouves d, puis l'aire du carré qui vaut d²...

Si tu ne regardes que le cercle de centre O et de rayon a, , il y a entre le cercle et le carré 4 parties identiques, tu as besoin de l'aire de l'une d'entre elles...
Si tu as l'aire des 4, t'es quand même capable de trouver l'aire d'une seule ? ^_^
Oui ? Alors, l'aire des 4 vaut : aire du disque de centre O - aire du carré = .. ?..

Ensuite quelle est l'aire du demi-disque de diamètre AB (rayon AB/2)?
Tu n'as plus qu'à soustraire ces deux aires et multiplier le résultat obtenu par 4.

Voilà le plan.
Applique-le et reviens avec tes calculs qu'on te dise oui, c'est bon ou non c'est faux (et dans ce cas, on te dira aussi où et pourquoi).

@+

albert

Invité

Re : lunules de leonard de vinci

Albert c'est mon nom ;)
Du départ enfaîte j'ai fais:

Le triangle AOB est un triangle isocele en O (AO=OB) et est rectangle en O car les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu O.

- AB au carré= AO au carré+OB au carré
AB au carré= a au carré( a est le rayon du cercle)+a au carré
AB= Racine carré de 2a au carré

le coté AB mesure racine carré de 2a au carré et donc AB=BC=CD=DA

- Aire du carré= coté*coté

Donc l'aire du carré= racine carré de 2a au carré*racine carré de 2a au carré

- Rayon du demi cercle AB= AB/2

Donc racine carré de 2a au carré/2

- Aire du demi cercle AB= Pi* rayon au carré

Donc PI* (racine de 2a au carré/2) au carré

est ce que c'est ça ? MERCI de votre aide

yoshi

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Re : lunules de leonard de vinci

Salut,

[tex]AB=\sqrt{2a^2}[/tex] oui...
Que tu peux simplifier comme ça : [tex]AB=a\sqrt 2[/tex]
Aire carré = [tex]AB^2=2a^2[/tex]
Rayon de chaque demi-cercle : [tex]AB/2=\frac{a\sqrt 2}{2}[/tex]
Aire demi-disque de diamètre AB : [tex]\frac 1 2 \times\pi \times \left(\frac{a\sqrt 2}{2}\right)^2=\frac{\pi a^2}{4}[/tex]
Le [tex]\frac 1 2[/tex] à cause de "demi-disque"...

Je t'engage à utiliser les écritures simplifiées des résultats ci-dessus pour t'en sortir...
Il te reste
à soustraire : aire du disque dans lequel se trouve le carré - aire du carré
à diviser ce résultat par 4,
à soustraire ce dernier résultat de l'aire du demi-disque de diamètre [AB]
à remultiplier par 4 puisqu'il y a 4 lunules...

Je dois m'absenter 2 bonnes heures. Je reviens ensuite...

@+

Albert

Invité

Re : lunules de leonard de vinci

J'ai trouvé:

PI*a au carré- 2a au carré= ? (je n'arrive pas a trouver le resultat)

? divisé par 4=?

?* PI a au carré/4 *4= ?

yoshi

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Re : lunules de leonard de vinci

Salut,

Bon, aire du demi disque de diamètre [AB] : [tex]\frac{\pi a^2}{4}[/tex]
Aire du disque de rayon a : [tex]\pi a^2[/tex]
Aire du carré [tex]2a^2[/tex]
Différence : [tex]\pi a^2-2a^2[/tex]
Le 1/4 de cette différence :  [tex]\frac1 4\left(\pi a^2-2a^2\right)=\frac{\pi a^2}{4}-\frac{a^2}{2}[/tex]

Continue !

@+

Dernière modification par yoshi (28-10-2014 19:46:52)

Albert

Invité

Re : lunules de leonard de vinci

Pardon mais je ne comprends pas :'(

yoshi

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Re : lunules de leonard de vinci

Re,

Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?

On cherche l'aire des 4 lunules bleues.
Pour cela, on calcule l'aire de l'une d'entre elles.
Pour obtenir une lunule, je colore en bleu la partie du demi disque de diamètre [AB] qui n'est pas rouge...
L'aire de la lune bleue se trouve par différence entre
Aire demi-disque de diamètre [AB] :
[tex]\frac 1 2 \times \pi \times \left(\frac{AB}{2}\right)^2=\frac 1 2\times\frac{\pi AB^2}{4}=\frac 1 2\times\frac{\pi 2a^2}{4}=\frac{\pi a^2}{4}[/tex] (1)
       et
Aire d'une portion rouge
Si je soustrais aire disque - aire carré je trouve, [tex]\pi a^2-2a^2[/tex]
Et pour en obtenir une seule, je prends 1/4 de cette aire puisqu'il y en a 4
[tex]\frac1 4\left(\pi a^2-2a^2\right)=\frac{\pi a^2}{4}-\frac{a^2}{2}[/tex] (2)

L'aire de lunule bleue s'obtient en faisant (1) - (2)

C'est mieux ?

@+

Albert

Invité

Re : lunules de leonard de vinci

donc ça c'est la reponse?

merci bcp de votre aide

yoshi

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Re : lunules de leonard de vinci

Salut,

Non, ce n'est pas la réponse...
J'ai dit que tu devais calculer la différence (1) - (2) qui te donnera l'aire d'une lunule, une seule.
Ce résultat devra être multiplié par 4 pour trouver l'aire des 4 lunules, soit [tex]2a^2[/tex] qui est l'aire du carré...

@+

Albert

Invité

Re : lunules de leonard de vinci

donc c'est:

un demi*PI*(AB/2) au carré= un demi* PI AB au carré/4= un demi*PI2a au carré/4= PIa au carré/4 - un quard (PI a au carré- 2a au carré)= PIa au carré/4- a au carré/2= ?

plus simplement

PIa au carré/4 - PIa au carré/4- a au carré/2=?

C'est ca?

yoshi

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Re : lunules de leonard de vinci

Bonsoir,

Difficile à lire... Si tu ne veux pas essayer Latex, utilise soit la barre d'outils des messages avec le symbole x² ou le ² de ton clavier en haut à gauche...
A vue de nez, je vois une grosse faute de signe :
PI a²/4 - (PI a²/4- a²/2) = PI a²/4 - PI a²/4 + a²/2 : ça c'est juste !
Et ça te donne a²/2 que tu dois multiplier par 4.
Tu vois le ² est bien pratique...

Bon, maintenant, je peux te le dire, ce problème a déjà été résolu ici :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=1018
il y a pas mal de temps...^_^

@+

Albert

Invité

Re : lunules de leonard de vinci

Donc c'est ^a/2*4 et ca donne ^4a/2
c'est juste?

Albert

Invité

Re : lunules de leonard de vinci

Est ce que j'ai démontré que la somme des lunules est egale à l'aire du carré dans tout ce qu'on a fait la?

Albert

Invité

Re : lunules de leonard de vinci

Desoler j'arrivais pas avec la méthode des puissances dans la barre d'outil. J'ai refais
Donc c'est a²/2*4 et ça donne 4a²/
C'est juste?

yoshi

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Re : lunules de leonard de vinci

RE,

Donc c'est a2/2*4 et ça donne 4a²/2 ? oui et 4a²/2=2a² soit l'aire du carré...

L'énoncé dit :

B.  l'objectif est de démontrer que la somme des aires des lunules est égale à l'aire du carré.

C'est bien ce qui a été fait, non ?

@+

Albert

Invité

Re : lunules de leonard de vinci

Donc c'est fini? j'ai réussi? :)

yoshi

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Re : lunules de leonard de vinci

Re,

Pourquoi ? T'en veux encore ? T'es pas rassasié ?

@+

Albert

Invité

Re : lunules de leonard de vinci

Merci Beaucoup Merci :)

Albert

Invité

Re : lunules de leonard de vinci

Bonjour, j'ai encore un petit soucis.

ABC est un triangle rectangle en B.
a. Tracer les demi-cercles de diamètres AB, AC et BC.
b. Démontrer que la sommes des aires des lunules est égale à l'aire du triangle ABC
    Pour cela calculer la somme des aires a+b en fonction de AC, la somme c+d en fonction de BC.
    Puis calculer la somme S+a+c en fonction de AC.
    Enfin, en utilisant l'égalité de Pythagore, démontrer que: b+d=S

yoshi

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Re : lunules de leonard de vinci

Salut,

Bon, dans tout forum : un sujet = une discussion.
Je vais répondre quand même.
Question a.
Pour qu'il y ait lunules, il faudrait peut-être qu'on ait tracé le cercle circonscrit au triangle, non ?
Où l'as-tu dit ?

Pour cela calculer la somme des aires a+b en fonction de AC, la somme c+d en fonction de BC.

Je veux bien, mais où ces aires a, b, c et d ont-elles été définies ?

Puis calculer la somme S+a+c en fonction de AC.

Encore une fois, je veux bien, mais qu'est-ce que l'aire S ? Où est-il dit ce qu'elle représente ? L'aire du triangle ?

Extrait des Règles de fonctionnement de BibMath :

* Présentation du sujet. Rien n'est plus pénible qu'un sujet incomplet ou réinterprété par celui qui demande de l'aide : avant de cliquer sur le bouton Valider, dans votre intérêt, assurez-vous que votre texte soit une copie conforme de votre énoncé. Faute de quoi, il n'y serait probablement pas répondu et votre discussion fermée avec une invite à recommencer.

@+

Albert

Invité

Re : lunules de leonard de vinci

Pardon je vais vous envoyé la figure

yoshi

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Re : lunules de leonard de vinci

RE,

D'ici, 5 à 6 min, je m'absente - en principe - jusqu'à 19 h, 19 h 15

@+

Albert

Invité

Re : lunules de leonard de vinci

vous n'auriez pas une technique pour que je trace la figure pour vous la montrer?

Albert

Invité

Re : lunules de leonard de vinci

voici la figure
file:///D:/Mes%20images/figure.jpg