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mathsastro

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spé maths - congruences et divisibilité

Bonjour !

J'aurais besoin d'aide pour un exercice de spé maths niveau terminale S, voici l'énoncé :

On appelle (E) l'enssemble des entiers naturels qui peuvent s'écrire sous la forme 9+a² ou a est un entier non nul; par exemple 10=9+1² ; 13=9+2² etc
On se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'élements de (E) qui sont des puissances de 2;3 ou 5

1. Etude de l'équation d'inconnue a : a²+9=2n avec a appartenant a N*, et n à N

a) montrer que l'entier n est forcément supérieur ou égal à 4
b) montrer que si l'entier a existe alors il est impair
c) montrer que pour tout entier n tel que n >= 4, 2^n congru 0 modulo 4

Merci de votre aide :)

Fred

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Re : spé maths - congruences et divisibilité

Salut,

  On veut bien t'aider, mais ne compte pas sur nous pour tout te faire.
Voici quelques pistes :
a) je suis sûr que tu peux le faire toi-même.....
b) Si a existe, alors a²=2n-9 est impair. Saurais-tu en déduire que a est impair???
c) Dire que 2^n est congru à 0 modulo 4 signifie dire que 4 divise 2^n. Je pense que cela aussi tu sais le faire
(d'ailleurs, il suffit que n>=2).

Fred.

mathsastro

Invité

Re : spé maths - congruences et divisibilité

oui j'ai déjà cherché et pour la question a), j'ai essayé avec a le plus petit possible donc a=1 et je tombe sur 10 et je n'arrive pas a faire le lien avec n >=4
du coup je n'y arrive pas !

pour la b, j'ai fait un raisonnement par l'absurde en raisonnant avec a pair pour prouver que a était impair, est-ce bon?

pour la c, je ne comprends pas bien...j'ai juste posé ça :
2^n = 4k +r

merci encore pour votre aide !

Fred

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Re : spé maths - congruences et divisibilité

oui j'ai déjà cherché et pour la question a), j'ai essayé avec a le plus petit possible donc a=1 et je tombe sur 10 et je n'arrive pas a faire le lien avec n >=4
du coup je n'y arrive pas !

Ben, 10/2=5>=4 non????

pour la b, j'ai fait un raisonnement par l'absurde en raisonnant avec a pair pour prouver que a était impair, est-ce bon?

Yes!

pour la c, je ne comprends pas bien...j'ai juste posé ça :
2^n = 4k +r

Tu dois montrer que 2^n est divisible par 4. J'écrirais plutôt 2^n=2x2x2x...x2=4x2x2x...x2

mathsastro

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Re : spé maths - congruences et divisibilité

Re bonjour

pour la a) je ne comprends pas pourquoi on divise par 2 ?? c'est une puissance qu'on a non??
et pour la c) j'ai fait ça

2^n = 4x2x2x...x2
or :
2 congrue 4 qui congrue 0 modulo 4
4 congrue 0 modulo 4

donc 2^n congrue 0 modulo 4

c'est bon ?

Fred

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Re : spé maths - congruences et divisibilité

Re bonjour

pour la a) je ne comprends pas pourquoi on divise par 2 ?? c'est une puissance qu'on a non??

Tu as [tex]2n\geq 10[/tex], je ne vois vraiment ce qui te bloque pour montrer que [tex]n\geq 4[/tex]!!!

et pour la c) j'ai fait ça

2^n = 4x2x2x...x2
or :
2 congrue 4 qui congrue 0 modulo 4
4 congrue 0 modulo 4

donc 2^n congrue 0 modulo 4

c'est bon ?

Oui.

mathsastro

Invité

Re : spé maths - congruences et divisibilité

je viens de voir que je me suis trompé en recopiant, l'équation du départ est : a^2 + 9 = 2 PUISSANCE n et non pas 2n !
voilà d'ou vient le quiproquo... ;)
du coup je suis coincé en arrivant a 10=2^n

Fred

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Re : spé maths - congruences et divisibilité

Ca n'empêche... 2^3=8, donc n=3 est trop petit...