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cirdeco

Invité

calculatrice

Bonjour,
1) À l'aide de la calculatrice, effectuer le calcul suivant :  (3033388,158)/(1515,1789)
2) a) Sans utiliser le résultat de la question 1, effectuer à l'aide de la calculatrice :(3033388,158)/(1515,1789) - 2002                          .
    b) En déduire la valeur exacte de (3033388,158)/(1515,1789).
Je trouve 2002 en 1) mais 0,00000013 en 2)a).
Comment peut-on en déduire le valeur exacte du quotient ?
Merci
C.

yoshi

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Re : calculatrice

Salut,

Je vais essayer de réfléchir à ton exo.

Rectifications :
1) 2002.0000001319977... et non 2002
2)a) [tex]1.319977614275.10^{-7}[/tex]...

@+

[EDIT]
A priori, je ne vois pas bien cette histoire de valeur exacte...
Le 2a) à 60 décimales est : [tex]1.31997614275119591488503436788883477720023688291857812961889.10^{-7}[/tex]
J'en déduis que :
[tex]\frac{3033388.158}{1515.1789}=2002+\epsilon[/tex]

Reste à déterminer le [tex]\epsilon[/tex]
[tex]\epsilon=\frac{3033388.158}{1515.1789}-2002=\frac{3033388.158-1515.1789\times 2002}{1515.1789}= \frac{0.0002}{1515.1789}=\frac{2}{15151789}[/tex]

[tex]\frac{3033388.158}{1515.1789}=2002+\frac{2}{15151789}[/tex]

Pour l'instant, je ne vois rien d'autre...
Au passage 1515 = Marignan, 1789 = Révolution française. Voulu ou pas, telle est ma question... ^_^

Quelqu'un a-t-il une autre idée ?

Dernière modification par yoshi (30-08-2014 10:48:40)

ymagnyma

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Re : calculatrice

Bonjour
Je ne vois pas mieux, mais, une chose me chiffonne :
j'ai effectué les calculs avec xcas,
[tex]\frac{3033388,158}{1515,1789} \simeq 2002,000 000 13[/tex] ; donc moins précis que Yoshi
[tex]\frac{3033388,158}{1515,1789}-2002 \simeq 1,319 972 398 05 .10^{-7}[/tex] ; de nouveau moins précis que Yoshi

j'ai alors testé [tex]\frac{2}{15151789} \simeq 1,319 977 885 09 .10^{-7}[/tex] !
Le reste a légèrement augmenté. et je ne vois pas d'où ça vient ; c'est ce qui me chiffonne ; au passage, les décimales ne sont à aucun moment celles trouvées par Yoshi, et ça aussi, ça m'étonne, il faudrait sans doute connaitre les algorithmes de calculs de xcas et du logiciel utilisé par Yoshi, mais qu'ils annoncent une telle différence est surprenant. Je vais regarder sur le tableur d'open office ce que ça donne.

en fait, erreur de frappe de ma part pour [tex]\frac{2}{15151789} \simeq 1,319 976 142 75 .10^{-7}[/tex] plus conforme à ce qu'à trouvé Yoshi, ouf.

Dernière modification par ymagnyma (30-08-2014 12:11:42)

ymagnyma

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Re : calculatrice

Avec le tableur d'open office :

[tex]\frac{3033388,158}{1515,1789} \simeq 2002,000 000 132[/tex]
[tex]\frac{3033388,158}{1515,1789}-2002 \simeq 1,319 972 398 050 6 .10^{-7}[/tex]

j'ai alors testé [tex]\frac{2}{15151789} \simeq 1,319 976 142 512 .10^{-7}[/tex] !

De nouveau la même augmentation du reste.

Cette variation doit être due au stockage des valeurs en cours de calcul.

Dernière modification par ymagnyma (30-08-2014 12:16:45)

yoshi

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Re : calculatrice

Salut,

J'ai utilisé Python. :
>>> from decimal import *
>>> getcontext().prec= 100
>>> print(Decimal(2)/Decimal(15151789)
[tex]1.319976142751195914885034367888834777200236882918578129618885268267661330289116354511008568031141405.10^{-7}[/tex]

yoshi

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Re : calculatrice

Salut,

J'ai utilisé Python. :

from decimal import *
getcontext().prec= 100  #(cette fois avec 100 décimales demandées)
print(Decimal(2)/Decimal(15151789)

1.319976142751195914885034367888834777200236882918578129618885268267661330289116354511008568031141405.10^-7

Mais ça ne me dit pas si c'est ce qui est attendu.
Quel niveau l'exercice ? A qui a-t-il été donné ? A quelle occasion ?

@+

totomm

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Re : calculatrice

Bonjour,

Je serais fort étonné que ce soit un exo donné par un professeur,
C'est une simple incursion dans le développement décimal d'un nombre rationnel
ici [tex]\frac{2}{15151789}[/tex] a un développement décimal dont la période comporte 221192 chiffres décimaux !
(vérifié en VB et en Python)

Comment peut-on en déduire le valeur exacte du quotient ?

Mais la valeur d'un rationnel exprimé sous forme de quotient de deux entiers est sa valeur exacte !!!

Quant aux calculettes et ordinateurs, pour discuter de leurs approximations, il faudrait connaître les représentations internes en nombres flottants utilisées...(comme cela a été évoqué...)

Bonne rentrée à tous : totomm

cirdeco

Invité

Re : calculatrice

Bonsoir,
cet exercice a été trouvé sur le site officiel de l'académie de Bordeaux et m'a laissé perplexe.
Merci pour votre éclairage.
C.