Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

merci Yoshi pour avoir relevé une erreur dans mon calcul de la somme de la suite géométrique.
du coup ça donne p=0, solution triviale qui me ramène au point de départ.
(alpha est l'angle qui permet d'écrire le complexe s sous forme exponentielle:
[tex]{e}^{i\alpha }[/tex]

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

je pense que la période est bien p=2, on le voit déja quand s=-1:
z1=a
z2=0
z3=a
z4=0
pour le cas général on peut le montrer par le principe de récurrence:
si z(n)=z(n+2) alors z(n+1)=z(n+3)
ce qui se démontre rapidement:
z(n+3)=sz(n+2)+a=sz(n)+a=z(n+1)
un peu trop simple ?

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : Corrigé bac C Paris 1971

Re,

Nan,nan, pas de solution triviale...
Non pas une période et une seule : il est demandé de montrer que si deux éléments distincts de [tex]\Sigma[/tex] sont égaux alors 
[tex]\Sigma[/tex] est périodique.
On sait donc déjà que p>0.
Ensuite, il a été démontré que  deux éléments consécutifs de [tex]\Sigma[/tex] ne sont pas égaux donc p>1, mais je le redis il n'a pas été demandé de calculer LA période : il y a une période pour chaque s différent.
En effet :
[tex]\sum_{k=0}^{p-1}\,s^k =\frac{1-s^p}{1-s}[/tex]

[tex]\frac{1-s^p}{1-s}=0[/tex] on a s>1...

Il faut donc que [tex]s^p =1[/tex] donc que [tex]s^p=e^{i2\pi}[/tex]

d'où [tex]s=e^{i2\pi/p}[/tex]
[tex]Z_{n+p}=Z_n[/tex] si [tex]s=e^{i2\pi/p}[/tex] et comme ceci est vrai quel que soit n alors dans ce cas [tex]Z_n[/tex] est périodique de période p.

Je pense avoir réussi à corriger l'énoncé de la question 1.c).
Ce n'est pas [tex]\frac{Z_{n+1}-Z_n}{Z_{n+1}-Z_n}[/tex] qui vaut s+1 (ce quotient-là vaut 1) mais :

[tex]\frac{Z_{n+2}-Z_n}{Z_{n+1}-Z_n}=s+1[/tex], [tex]\forall n \in \mathbb{N}[/tex]
Mais je n'ai pas regardé ce que donne alors la suite à partir du 2)

@+

Dernière modification par yoshi (10-08-2014 08:12:58)

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

Bravo, la démonstration est convaincante et prend bien en compte que z(n) est une suite de nombres complexes.
s=-1 et p=2 n'est donc qu'un cas particulier, la suite est donc périodique, de période variable pour chaque valeur unique de s déterminée par p entier >=2
j'ai aussi détecté l'erreur de l'énoncé sur le rapport qui vaut 1+s

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

Il ne reste plus que la partie 2) du problème que je comprends comme étant l'interprétation géométrique de la suite étudiée en 1). Mais là encore je bloque totalement car mes souvenirs sur les nombres complexes, leur affixe etc... sont trop lontains,
merci encore pour votre aide pour venir à bout de ce sujet

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

Bonsoir,

j'avance un peu sur la partie 2) du probmème:
j'ai retrouvé la formule qui donne l'affixe z' pour d'un point obtenu par similitude de centre w, d'angle téta
et de rapport r d'un point d'affixe z:
[tex]z'-w=r{e}^{i\theta }[/tex] [tex]\left(z-w)\right)[/tex]
Je suppose que A(n+2) et le tranformé de A(n+1) pour une similitude de centre A(n) de rapport r et
d'angle téta.
donc les affixes z(n+2), z(n+1) et z(n) sont définies par la relation suivante:
z(n+2)-z(n)=r{e}^{i\theta }(z(n+1)-z(n))
j'ai donc répondu à la première partie du a)
reste à trouver l'affixe de A(n+1)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : Corrigé bac C Paris 1971

Salut,

Désolé d'être en retrait, mais j'ai une revue de 24 pages sur les bras qui doit sortir début septembre et ça m'occupe pas mal.
De plus, je vais être absent du 15 au 17 août inclus, donc, je ne te promets pas de te répondre rapidement...

Je te propose la formulation de mon bouquin qui me semble être intéressante à lire, tu vas voir pourquoi.
[tex](O,\;;\;\vec u,\; \vec v)[/tex] est un repère orthonormal direct.
1. f est une similitude de rapport k, d'angle [tex]\theta[/tex], son centre I a pour affixe [tex]\omega[/tex]
Alors l'écriture complexe de f dans [tex](O,\;;\;\vec u,\; \vec v)[/tex]  est [tex]z'=ke^{i\theta}+\omega(1-ke^{i\theta})[/tex], soit de la forme
z' = az + b avec [tex]a = ke^{i\theta}[/tex]
2. Réciproquement si l'écriture complexe d'une transformation f est z' = az + b avec [tex]a = ke^{i\theta}[/tex], k réel, [tex]a \neq 1[/tex], alors f est la similitude de rapport k, d'angle [tex]\theta[/tex] et de centre le point d'affixe [tex]\frac{b}{1-a}[/tex] dans [tex](O,\;;\;\vec u,\; \vec v)[/tex]

@+

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

le rapport z(n+2)-z(n)/z(n+1)-z(n) vaut donc:
  [tex]r{e}^{i\theta }[/tex]
si on rappriche ce résultat du 1)
on en déduit:
[tex]r{e}^{i\theta }[/tex] = s+1

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : Corrigé bac C Paris 1971

Re,

Tu t'es auto répondu alors que je te répondais (post #32).

Remets-toi au LateX, s'il te plaît, c'est plus facile à déchiffrer...

@+

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

Bonsoir

je pense qu'il manque z dans ta formule de z' qui devrait donc s'écrire
[tex]z'=zk{e}^{i\theta }[/tex] +w(1-k{e}^{i\theta }

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : Corrigé bac C Paris 1971

Re,

Oui, bien sûr :
[tex]z'=ke^{i\theta}z+\omega(1-ke^{i\theta})[/tex]

@+

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

Bonjour,

Merci Yoshi pour le rappel sur les similitudes et bon courage pour ta revue.
Je reprends les données de la partie 2à de ce problème et ce que je propose pour la première question.
Après un très long préambule on définit une suite de points A0, A1, ....An qui sont liés par une relation de similitude avec angle, rapport et centre. Ensuite on introduit zn l'affixe de An et on demande de trouver le rapport (z(n+2)-z(n))/(z(n+1)-z(n)).
Mon raisonnement est le suivant.
En reprenant la définition de la similtude on peut écrire que:
A(n+2) est l'image de A(n+1) par une simitude d'angle  [tex]\theta [/tex]  , de rapport r et de centre A(n).
Si on introduit les affixes suivantes:
z(n+1) affixe de A(n+1)
z(n+2) affixe de A(n+2)
Alors en reprenant la formulation générale des affixes d'une similitude on peut écrire:
z(n+2)-z(n)=(z(n+1)-z(n)) [tex]r{e}^{i\theta }[/tex]
D'où la valeur demandée pour l'expression
(z(n+2)-z(n))/(z(n+1)-z(n))=[tex]r{e}^{i\theta }[/tex]
Mais la question suivante est troublante car on demande de montrer (en se servant des résulats du 1) que A(n+1) est le transposé de A(n) par une similitude S indépendante de n, et de calculer l'affixe du centre de cette similitude.
C'est troublant car on vient de voir que A(n+1) est l'image de A(n) par une similitude ( [tex]\theta ,r[/tex] ) de centre A(n-1). Donc là on introduit une autre similitude sont il faut trouver les caractéristiques.
Alors en servants des résultats du 1) on peut écrire:
[tex]r{e}^{i\theta }[/tex] = s+1 et z(n+1)=sz(n)+a=([tex]r{e}^{i\theta }[/tex]-1)z(n)+a
Et là je bloque !

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

Bonsoir,

je pense avoir trouvé une piste pour la similitude S qui transforme A(n), affixe z(n)) en A(n+1), affixe z(n+1)
Posons les caractéristiques de cette similitude S en supposant qu'elle existe:
- angle:  [tex]\alpha [/tex] 
- rapport: k
- centre W dont l'affixe est w
On peut alors écrire la formule générale de similitude:
  [tex]{z}_{n+1}-w=k{e}^{i\alpha }\left({z}_{n}-w\right)[/tex]
soit:
A) [tex]{z}_{n+1}=k{e}^{i\alpha }{z}_{n}+w\left(1-k{e}^{i\alpha }\right)[/tex]
Mais on sait que z(n+1) peut aussi s'écrire comme suit:
[tex]{z}_{n+1}=s{z}_{n}+a[/tex]
avec  [tex]s={re}^{i\theta }-1[/tex]
D'où
B)  [tex]{z}_{n+1}=\left(r{e}^{i\theta }-1\right){z}_{n}+a[/tex] 
En rapprochant les expressions A et B on obtient les relations suivantes:
[tex]a=w\left(1-k{e}^{i\alpha }\right)[/tex]
[tex]k{e}^{i\alpha }= r{e}^{i\theta }-1[/tex] 
On trouve donc l'affixe du centre w de la similitude S qui ne dépend pas de n mais seulement des caracyéristiques r et teta de la première similitude:
[tex]w=\frac{a}{2-r{e}^{i\alpha }}[/tex]

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

oups j'ai fait une erreur en écrivant alpha à la place de théta donc la valeur de w est:
[tex]w=\frac{a}{2-r{e}^{i\theta }}[/tex]

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

Bonjour,

Je suis arrivé au bout de ce problème (non sans mal d'ailleurs), je vous donnerai mes résultats dès que je pourrai à nouveau saisir des équations, mais je me demande s'il n'y a pas encore une erreur dans le texte de l'énoncé car à la fin on doit faire un tracé avec une valeur surprenante pour théta: 2pi/7, alors que 7 n'est pas un diviseur de 360°, ou alors il y a encore une subtilité qui m'échappe ?

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

Bonsoir,

Voici en résumé les résultats pour les questions a) , b) et c) de la deuxième partie du problème.
Question a)
-------------
Si zn désigne l’affixe de An trouver la valeur du rapport
(zn+2 −zn)/(zn+1 −zn)
Déduire alors du 1. que An+1 est le transformé de An dans une similitude
S, indépendante de n ; calculer seulement, ici, l’affixe de son centre.
On ne demande d’étudier S que dans les deux cas b. et c. suivant

Par hypothèse on sait que le point A(n+2) est l'image du point A(n+1) par une similitude de centre A(n), d'angle  [tex]\theta [/tex] et de rapport r. Si z(n+2), z(n+1) et z(n) sont respectivemet les affixes des points A(n+2), A(n+1) et A(n) alors on peut écrire directement:
[tex]{z}_{n+2}-{z}_{n}=r{e}^{i\theta }\left({z}_{n+1}-{z}_{n}\right)[/tex]
Ce qui répond à la question sur la valeur du rapport, qui semble donc assez triviale.
Mais la question suivante est troublante car on pourrait imaginer que l'on va poursuivre l'étude des caractéristiques de la première similitude qui régit la suite de points O, A(1).............A(n).
En fait on demande de trouver quelles sont les caractéristiques d'une autre similitude (notée maladroitement S) qui transforme A(n) en A(n+1). Mon approche est des supposer que cette similitude existe en notant son angle alpha, son rapport k et son centre U, d'affixe u.
Ce qui permet d'écrire:
A) [tex]{{z}_{n+1}}_{}-u=k{e}^{i\alpha }\left({z}_{n}-u\right)[/tex] 
Dans la partie 1) du problème on sait que:
[tex]{z}_{n+1}=s{z}_{n}+a [/tex]
donc:
B) [tex]{z}_{n+1}=\left(r{e}^{i\theta }-1\right){z}_{n}+a[/tex]
En rapprochant les expressions A) et B) on obtient:
[tex]k{e}^{i\alpha }=r{e}^{i\theta }-1[/tex]
et
[tex]a=u\left(1-k{e}^{i\alpha }\right)[/tex] 
On en déduit les caractéristiques de la similitude de S qui sont indépendantes de n:
[tex]tg\left(\alpha \right)=\frac{r\sin \left(\theta \right)}{r\cos \left(\theta \right)-1}[/tex] ; rcos(teta)=/1
[tex]k=\sqrt{1+{r}^{2}-2r\cos \theta }[/tex]
[tex]u=\frac{a}{2-r{e}^{i\theta }}[/tex]
Je pense donc avoir répondu à la question a).

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

Voici la question b) qui en contient en réalité quatre:
On suppose r =1/cos(teta). déterminer l’angle, le rapport et le centre,U, de S.
Vérifier que tous les points Ai appartiennent, selon la parité de i , à l’une ou l’autre de deux droites fixes.
Comment faut-il choisir teta pour que la suite A soit périodique ?
Construire le point U et la ligne polygonale OA1A2A3A4A5A6 poura = 5 et µ =pi/6
Le calcul des caractéristiques de S donne:
[tex]\alpha =\pi /2 [/tex]
[tex]k=\sqrt{{r}^{2}-1}[/tex]
[tex]u=\frac{a}{1+{k}^{2}}\left(1+ik\right)=\frac{a}{{r}^{2}}\left(1+i\sqrt{{r}^{2}-1}\right)[/tex]
Comme l'angle de la similitude vaut pi/2, on voit que les points A(n) et A(n+2) sont alignés et appartiennent à la droite passant par les points U,A1 et A3 pour n impair et à une droite orthogonale passant par U, A2 et A4 si n est pair.
Dans la partie 1) du problème on avait trouvé la condition suivante pour que la suite A soit périodique:
[tex]s={e}^{i2\pi /p}[/tex] 
Ici on est dans le cas rcos(teta)=1 donc s peut s'écrire:
[tex]s=r{e}^{i\theta }-1=ir\sin \theta =itg\theta [/tex]
On a donc:
[tex]\cos 2\pi /p=0[/tex] et  [tex]tg\theta =\sin 2\pi /p[/tex]
Donc:  [tex]tg\theta =1[/tex]
D'où le choix de theta= [tex]\pi /4[/tex]
Enfin voici les affixes des points à tracer pour a=5 et theta=pi/6
Z1=5
[tex]{z}_{2}=5+i5\sqrt{3/}/3[/tex]
[tex]{z}_{3}=10/3+i5\sqrt{3}/3[/tex]
[tex]z4=10/3+i10\sqrt{3}/9[/tex]
[tex]{z}_{5}=35/9+i10\sqrt{3}/9[/tex]
[tex]{z}_{6}=35/9+i35\sqrt{3}/27[/tex]

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

Et voici pour finir la question c)
On suppose r = 2cos(teta) ; montrer que S est une rotation, dont on déterminera l’angle et le centre V.
Qu’en déduit-on pour les côtés de la ligne polygonale L de sommets successifs O,A1,A2,A3,A4,A5,A6?
Comment faut-il choisir e pour que L soit fermée ?
Construire le point V et la ligne L poura = 5 et teta =2pi/7.
A partir des expressions donnant les caractéristiques de S dans le cas général on obtient:
k=1, dont la similitude est une rotation

[tex]\tan\alpha =\frac{r\sin \theta }{r\cos \theta -1}=\frac{2\sin \theta \cos \theta }{2\cos ^{2}{\theta }-1}
=\frac{\sin 2\theta} {\cos 2\theta }=\tan 2\theta [/tex]

donc  [tex]\alpha =2\theta [/tex] 
et l'affixe v du centre de rotation V est:
[tex]v=\frac{a\left(1+i\right)}{2}[/tex]
Les côtés de la ligne polygonale L sont les bases, toutes égales, des triangles isocèles de sommet V OVA1, A1VA2, .....A5VA6.
Soit  [tex]\left|v\right|[/tex] le module de v.
La longueur l des côtés de la ligne polygonale s'écrit:
[tex]l=2\left|v\right|\sin \alpha /2=2\left|v\right|\sin \theta [/tex]
Soit  [tex]\left|a\right|[/tex] le module de a:
[tex]\left|v\right|=\left|a\right|\sqrt{2}/2[/tex]
D'où:
[tex]l=\sqrt{2}\left|a\right|\sin \theta [/tex]
Pour que la ligne polygonale soit fermée il faut que le point A6 soit confondu avec l'origine O, donc que:
[tex]6\alpha =2\pi [/tex]
Soit  [tex]\alpha =\pi /3[/tex]  et donc  [tex]\theta =\pi /6[/tex]

Mais je bloque sur l'application numérique avec  [tex]\theta =2\pi /7[/tex]

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

je veins de trouver dans ce document le sujet de la session de Paris Juin 1971, qui semble bien transcrit sans erreur et la valeur de 2pi/7 est bien écrite.......
http://megamaths.perso.neuf.fr/themes/sujetsbacs.pdf

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

en fait je viens de comprendre, on nous donne un angle qui ne correspond pas à des valeurs usuelles des cosinus et sinus, donc il ne faut pas chercher à calculer les affixes des points de la ligne L mais trouver une solution géométrique. On sait que la similitude est une rotation de rapport 1 et d'angle alpha=2xtheta. On donne a =5, donc A1 est sur l'axe des x à la graduation 5. Il suffit de calculer l'affixe du centre de la rotation V qui ne dépend que de a et theta. On place le point V en fonction du résultat, et ensuite on trace le cercle de centre V et de rayon OV=OA1, puis on place sur ce cercle le point A2 tel que l'angle OA1,OA2 soit égal à alpha (environ 103°), et ainsi de suite jusqu'au point A6. J'aurais dû utiliser la m^me proche pour la question précédente avec a=5 et theta=pi/6, il ne faut jamais oublier la géométrie !
Bon je crois que je suis arrivé au bout de ce problème et franchement je ne suis pas surpris d'avoir pris une terrible gamelle il y a plus de 40 ans ! Ce problème est très inétressant, mais je suis curieux de savoir si des candidats avaient réussi à le traiter entièrement et correctement...
Merci à l'avance de m'indiquer ce que vous en pensez....

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : Corrigé bac C Paris 1971

Salut,

Bravo !
Je suis très content pour toi que tu aies pu finir mais terriblement désolé de ne pas avoir le temps de me replonger vraiment dans ce problème : le temps passe et il me reste 10 jours pour boucler ma revue...
J'espère pouvoir avancer assez vite dans ce qui me reste à faire, pour pouvoir me permettre de dégager un peu de temps pour ça.
C'est toujours la même problématique en février, mai, août et novembre !

En réponse à ta question, je pense sincèrement que oui, mais pas la majorité : seuls ceux qui visaient la mention TB avec ou sans "félicitations du jury"...
Demande-ton à chaque candidat bachelier même en MathElem (le nom de ma Term), C ou S, quel que soit le nom qu'on lui donne, de traiter à 100% le sujet de Maths ?
Bien sûr que non...
Cela dit, un élève bien au point, sur ce sujet (sans les fautes dans l'énoncé), a bien dû décrocher 14 points minimum...

Le cerveau d'un candidat bachelier de 18 ans et le nôtre (le mien en particulier) ont des niveaux d'agilité bien différents : il est très dur de vouloir être et d'avoir été... J'en sais quelque chose, crois-moi !
Sois fier de ce que tu as réussi à faire !

@+

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

Bonjour,

Merci pour ta réponse et ton aide (ainsi que celle de Tibo) qui m'a donné envie de poursuivre la résolution de ce sujet avec en effet le handicap d'une agilité du cerveau qui n'est plus celle de mes 20 ans, d'où un parcours assez besogneux mais finalement ça m'a bien plu d'arriver au bout !
Bon courage pour ta revue et à bientôt.

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

je voulais juste ajouter un commentaire à propos de l'énoncé de ce sujet, surtout pour la partie problème. J'estime qu'il manque une introduction exposant ce que l'on recherche à travers ce problème pour montrer qu'il y a une intention. En introduction du problème on aurait pu écrire par exemple:
"On se propose d'étudier une suite de nombres complexes suivant deux approches complémentaires: une approche algébrique dans laquelle on étudiera les différentes propriétés de cette suite (valeurs de la somme, périodicité etc..) puis une approche géométrique. Dans l'approche géométrique, les termes de cette suite seront considérés somme les affixes de points d'un plan euclidien. La suite de ces points sera étudiée suivant deux similitudes (avec centre, angle et rapport), l'une de centre variable et l'autre de centre fixe. On établira que les propriétés de la première similitude déterminent directement celles de la seconde et cette étude sera illustrée sur deux cas d'application numérique."

totomm

Membre

Inscription : 25-08-2011

Messages : 1 093

Re : Corrigé bac C Paris 1971

Bonjour,

Beau travail après toutes ces années,
j'en frémis en pensant qu'à quelques bonnes années précédentes, j'aurais pu tomber sur ce problème au bac !!

Et voici pour finir la question c)
......
et l'affixe v du centre de rotation V est:
[tex]v=\frac{a\left(1+i\right)}{2}[/tex]
...

je trouve [tex]v=\frac{a}{2 }\left(1+\frac{i}{\tan(\theta)}\right)[/tex]
qui correspond bien à des tracés fermés pour [tex]\theta=\frac{2\pi}{4}\ ou \ \frac{2\pi}{7}\ ou \ \frac{2\pi}{11}[/tex]

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

Bonjour totomm,

Merci pour la correction sur le l'affixe du centre de rotation, j'étais allé un peu vite dans le calcul.
mais je ne comprends pas comment vous en déduisez les valeurs de théta pour que la ligne L soit fermée.
L comprend 7 points (de O à A6), donc pour moi il n'y a qu'une seule valeur de théta pour que L soit fermé: A6 est confondu avec O, donc 6xalpha=2pi, et comme alpha=2xthéta on a  théta=pi/6