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Bertrand31

Invité

Corrigé bac C Paris 1971

Bonjour,

J'ai passé le bac C à Paris en juin 1971, et j'en ai gardé un très mauvais souvenir, mais maintenant que j'ai retrouvé le sujet sur ce site
http://www.apmep.fr/Annee-1970-Baccalaureat-C-42,
j'aimerais bien trouver le corrigé, merci de m'aider,

Il y avait notamment cette question sur une suite de nombres complexes qui m'avait donné des sueurs froides.....

1. On donne deux nombres complexes non nuls a et s et l’on considère la suiteP
des nombres complexes z0, z1, z2, . . . , zn, . . . , définie par z0 = 0 et par la relation
de récurrence
(1) zn+1 = szn +a, pour toutn 2N.
a. Calculer z1, z2, z2, z3, z4 en fonction de a et de s.
Exprimer simplement zn en fonction de a, s et n, lorsque 6= 1.
Que peut-on dire de P lorsque s = −1 ?
Donner la valeur de zn lorsque s = 1.
b. Deux éléments distincts de P peuvent-ils être égaux ? Montrer qu’alors
P est périodique.
c. Vérifier que deux termes consécutifs de P ne sont jamais égaux et montrer
que
(2)
zn+1 −zn
zn+1 −zn
= s +1, pour toutn 2 N.

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

il y a une erreur dans mon message, je vous donne le lien exact vers le sujet du bac C Paris 1971
http://www.apmep.fr/IMG/pdf/ParisCjuin1971.pdf

tibo

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Re : Corrigé bac C Paris 1971

Salut,

Très intéressant ce sujet. J'imagine bien la tête de nos bacheliers actuels face à ça ^^
J'essayerai de rédiger un corrigé si je trouve le temps mais je ne te promet rien et pas avant une semaine.

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

Salut,

Très intéressant ce sujet. J'imagine bien la tête de nos bacheliers actuels face à ça ^^
J'essayerai de rédiger un corrigé si je trouve le temps mais je ne te promet rien et pas avant une semaine.

merci !

tibo

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Re : Corrigé bac C Paris 1971

Re,

Bon j'ai comme un doute...
On a [tex]f(x)=\sqrt{1-ln(x)}[/tex].
Donc [tex]f'(x)=-\frac{1}{2xf(x)}[/tex]
Du coup je ne vois pas comment il pourrait exister un [tex]\alpha[/tex] tel que [tex]f'(\alpha)=0[/tex]

C'est moi qui suis rouillé (ce qui serait embêtant devant enseigner à la rentrée) ou bien il y a un problème?

Dernière modification par tibo (07-08-2014 18:42:57)

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

Bonsoir

je n'ai pas le m^me résultat pour f'(x)
1/2f(x), il n'y a pas de x au dénominateur

quand x=>0, f(x)=>infini, donc f'(x) => 0
j'en déduis que pour x=0, f'(x)=0
mais j'en suis pas certain car c'est un calcul aux limites !

yoshi

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Re : Corrigé bac C Paris 1971

Salut,

D'accord avec tibo
[tex]f'(x)=\dfrac{-\frac{1}{x}}{2\sqrt{1-\ln(x)}}=-\frac{1}{2x\sqrt{(1-\ln(x))}}[/tex]

Ce qui laisse le problème pendant...
Si j'ai un doute... Boum, un grapheur pour voir..
Et voilà la courbe représentative de f(x) :

Wolfram donne la même chose...

@+

Dernière modification par yoshi (07-08-2014 19:32:23)

tibo

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Re : Corrigé bac C Paris 1971

Re,
Le résultat de Wolfram est incohérent avec la courbe. La courbe n'admet pas de tangente verticale en x=1

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

merci pour vos retours !
la courbe de f(x) admet bien ue tangente verticale pour x=0 et x=e ?

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

je pense qu'il y a une erreur dans l'énoncé:
il faut trouver le point I d'abcisse alpha telle que f"(alpha)=0 (donc dérivée seconde et pas dérivée première)

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

lé dérivée seconde de f(x) est
(f(x)+xf'(x))/(xf(x))2
pour annuler f"(x) il faut trouver alpha tel que 1-ln(alpha)=1 soit alpha=1

yoshi

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Re : Corrigé bac C Paris 1971

Salut tibo,

Non, non, j'avais fait une faute de frappe la première fois (je n'ai jamais pris Wolfram en défaut : il m'en remontre !)...
Suis mon lien, et tape dans la fenêtre sqrt(1-ln(x)) puis clique sur calculer la dérivée et tu verras que c'est bien notre résultat...

La dérivée seconde est :

[tex]f''(x)=-\frac{2\ln x-1}{4x^2(1-\ln x)^{3/2}}[/tex] (Wolfram, parce que à cette heure, je n'ai plus envie...)

@+

tibo

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Re : Corrigé bac C Paris 1971

Re,

Je sais que Wolfram ne se trompe pas. C'était une manière déguisé de dire que tu avais sûrement fait une faute de frappe.

Pour l'exercice 2, je n'ai pas touché aux coniques depuis la prépa, et mes souvenirs sont très flous. C'est quoi les coordonnées des sommets d'une ellipse?

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

OK Oshi, j'ai refait le calcul pour la dérivée seconde et je trouve la m^me chose,
la valeur d'alpha n'est donc pas 1, mais e1/2
dur dur et ce n'est qu'une partie de l'exercice 1 !

yoshi

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Re : Corrigé bac C Paris 1971

Salut,

Mes souvenirs intensifs à moi datent de bien plus loin que ça... 1966 !
Supposons l'équation réduite centrée en O : [tex]\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}=1[/tex]
Je présume que les sommets doivent être (-a,0), (a,0), (0,-b),(0,b)...

Mais là j'ai un problème avec cette ellipse : chuis vraiment rouillé..
Faut que je trouve l'équation générale quand le centre n'est pas O.
J'en suis là :
[tex]y^2=2x-\frac{x^2}{\lambda}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\frac{x^2}{\lambda}-2x+y^2=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\frac{1}{\lambda}(x^2-2\lambda x+\lambda^2)-\lambda+y^2=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\frac{1}{\lambda}(x-\lambda)^2+y^2=\lambda[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\frac{(x-\lambda)^2}{\lambda}+\frac{y^2}{1}=\lambda[/tex]

avec [tex]\lambda \in]0\;;\;1[[/tex]

@+

tibo

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Re : Corrigé bac C Paris 1971

Re,
[tex]\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}=1[/tex] c'est pour une ellipse centrée en l'origine.
Dans notre cas on trouve [tex]\frac{(x-\lambda)^2}{\lambda^2}+\frac{y^2}{\lambda}=1[/tex]
J'en déduit que le centre a pour coordonnées [tex](\lambda;0)[/tex]
et les sommets je dirais [tex](0;0)[/tex], [tex](0;2\lambda)[/tex] et [tex](\lambda;\sqrt{\lambda})[/tex], [tex](\lambda;-\sqrt{\lambda})[/tex]

yoshi

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Re : Corrigé bac C Paris 1971

Re,

Pas pensé à rediviser par [tex]\lambda[/tex]....

c'est pour une ellipse centrée en l'origine.

C'est ce que j'avais dit : centrée en O.

Rectification (faut le temps que le dégrippant fasse effet !) :[tex] \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/tex] est plus précis

Donc  là on a : [tex]\frac{(x-\lambda)^2}{\lambda^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{\lambda})^2}=1[/tex]

Axe focal : [tex]Ox[/tex]
Centre [tex]\Omega(\lambda\;;\;0)[/tex] ok.
Sommets  [tex](2\lambda;0)\,;\, (0;0) \,;\, (\lambda;\sqrt{\lambda})\,;\,(\lambda;-\sqrt{\lambda})[/tex]
J'ai contrôlé : ces points sont bien sur l'ellipse...

@+

[EDIT]
A=O est fixe. A' est tel que y =0 et [tex]x=2\lambda[/tex], donc [tex]\forall \lambda \in ]0;1[[/tex], y =0
Le lieu géométrique de A' est le segment ouvert ]0 : 2[

[tex]B(\lambda;\sqrt{\lambda})[/tex]   et [tex] B'(\lambda;-\sqrt{\lambda})[/tex]
on a [tex]y^2=x[/tex]...
Le lieu géométrique de B et B' est donc une partie de parabole pour [tex]\lambda \in ]0;1[[/tex] de sommet O(0;0) et d'axe focal [tex][Ox[/tex]...

Enfin, chacun des points B et B' décrit une demi partie de parabole.

Dernière modification par yoshi (08-08-2014 13:51:20)

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

Bonjour,

Merci pour le début du corrigé sur l'ellipse de l'exercice 2.
J'ai calculé les coodonnées x1 et x2 des foyers:
x1=lambda-sqrt(lambda(exp2)-lambda)
x2=lambda+sqrt(lambda(exp2)-lambda)

yoshi

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Re : Corrigé bac C Paris 1971

Salut,

Qu'est-ce représente exp2 ? puis [tex]\lambda(exp2)[/tex] ?
Tu transformes [tex]\lambda[/tex] en fonction ?

Moi je pense avoir fait erreur pour l'axe focal :
puisque [tex]0<\lambda<1[/tex] en conséquence [tex]\lambda<\sqrt{\lambda}[/tex]

Donc b>a et l'axe focal devrait être la verticale passant par [tex]\Omega[/tex]

Et donc les Foyers F et F' : [tex]F(\lambda;\sqrt{\lambda-\lambda^2})  \;;\; F'(\lambda;-\sqrt{\lambda-\lambda^2})[/tex]

Si tu veux écrire des formules, soit
- tu vas lire ça : Code LateX (sans oublier la 1ere ligne !)
- si Java est installé sur ta machine, tu cliques sur Insérer une équation qui ouvre un éditeur maison de formules mathématiques (un petit tuto en pdf de 70 ko y sera accessible)

D'où pour F :
[tex]x=\lambda[/tex]          ----------------------->[tex] x^2 = \lambda^2[/tex]               
[tex]y=\sqrt{\lambda-\lambda^2}[/tex] -----------> y^2=\lambda-\lambda^2

D'où [tex]x^2-x+y^2=0  \;\Leftrightarrow\; \left(x-\frac 1 2\right)^2+y^2=\frac 1 4[/tex]
Demi-cercle de centre[tex]\left(\frac 1 2;0\right)[/tex] et [tex]R = \frac 1 2[/tex]

@+

Dernière modification par yoshi (08-08-2014 15:55:43)

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

les foyers sont bien sur l'axe des x, avec une ordonnée nulle ?
par exemple pour trouver x1 j'écris:
lambda^2=(lambda-x1)^2+lambda -triangle rectangle F1, O, sommet(0, lambda^1/2)
et je trouve x1 par résolution de l'équation du second degré en x1

(désolé j'ai un souci de validation de java)

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

bon ça va un peu mieux avec Java,
alor voilà ce que je trouve pour x1:
[tex]x1=\lambda +\sqrt{\lambda -{\lambda }^{2}}[/tex]

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

OK je viens de comprendre que  [tex]\lambda <\sqrt{\lambda }[/tex]
donc les foyers sont sur l'axe vertical passant par le centre de l'ellipse et ont leur abcisse égale à  [tex]\lambda[/tex]
je trouve que ces exos sont vraiment coriaces même pour un bac C, et je me rappelle que je n'avais pas eu le temps de commencer le problème d'où une sacré gabelle, heureusement que j'étais bon en physique/chimie ! je me rappelle aussi que les meilleurs en maths de ma classe avaient souffert également et avaient eu des notes comprises entre 8 et 10 !
allez je continue !

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

Bonjour,

J'ai commencé le problème, la partie a) est facile, mais je bloque complétement sur le b) où il faut montrer que la suite est périodique,
je ne parviens pas à me servir que c'est une suite géométrique du nombre complexe s,
avez-vous des idées . merci

Bertrand31

Invité

Re : Corrigé bac C Paris 1971

bon j'avance un peu,
pour montrer que la suite est périodique il faut trouver un entier p tel que:
z(n)=z(n+p)
on a z(n)=a(1+s+.............+s^(n-1))
z(n+p)=a(1+s+.................+s^(n-1)+s^(n)+............+s^(n+p-1))
j'en déduis:
s^(n)+s^(n+1)+..............s^(n+p-1)=0
1+s+........................s^(p-1)=0
soit
1-s^(p-2)=0
avec s=e ^ialpha, alpha=/0
e^ialpha(p-2)=1
donc p=2
la suite est donc périodique de période 2

yoshi

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Re : Corrigé bac C Paris 1971

Bonsoir,

[tex]1+s+........................s^{p-1}=0[/tex]
soit
[tex]1-s^{p-2}=0[/tex]

Je ne suis pas d'accord avec ton "soit" :
[tex]1+s+........................s^{p-1}=\sum_{k=0}^{p-1}\,s^k[/tex]
Tu vois donc que de k= 0 à k = p-1,  il y a p termes, donc :

[tex]\sum_{k=0}^{p-1}\,s^k =\frac{1-s^p}{1-s}[/tex]

Vérification avec s = 2 et p = 8 : le jeu d'échecs et la légende de Sissa :
1 grain de blé sur la 1ere case, 2 sur sur la 2e, 4 sur la 3e,...128 sur la 8e case : arrêtons-nous là.
La somme des grains posés est 1+2+1+8+16+32+64+128 = 255 soit [tex]2^8-1,\,;ou\;\frac{2^8-1}{2-1} [/tex]
([tex]2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+\cdots+2^{8-1}[/tex])
Si je te suis, je n'aurais donc déposé que 2^{8-2} = 64 grains en tout.

D'autre part [tex]z_2=a(1+s)[/tex] et [tex]z_4=a(1+s+s^2+s^3)[/tex]
Je n'ai pas z2=z4...
Sauf si [tex]s^2=s^3[/tex] d'où s = -1...

Tiens un lien
http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie … 3%A9trique

Je vais regarder la question de plus près (pas ce soir).

@+

[EDIT] pas pu résister...
Pourquoi pas p=3 ?
Alors
[tex]z_{n+3}-z_n=0 \Leftrightarrow 1+s+s^2=0[/tex]
Là aussi, ça dépend de s :
[tex]s_1,s_2=\frac{-1\pm i\sqrt 3}{2}[/tex] ou encore [tex]s_1,s_2=e^{-i2\pi/3},e^{i2\pi/3}[/tex]

A bien relire, il n'est pas écrit "trouver la période", mais montrer que [tex]\Sigma[/tex] est périodique...