Peut-on trouver dans N un triplet (a,b,c) tel que a²+2b² = c² ?

yoshi · 05-08-2014 09:49:08

Bonjour,

Je réponds non.
J'ai trouvé une réponse géométrique à ma question, cf http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 913#p46913 post #255...
Je n'ai pas trouvé de réponse arithmético-algébrique...

J'ai essayé via les chiffres des unités, via le groupe dizaines_unités..
J'ai pu montrer que, [tex]a,b,c,n\,\in\mathbb{N}[/tex], si [tex]a^2+b^2 = n^2[/tex] alors, on ne peut avoir [tex]a^2+2b^2 = c^2[/tex].
C'est déjà une restriction, mais ça ne répond pas à la question...

Quelqu'un a-t-il une idée ?
Merci d'avance...

@+

ymagnyma · 05-08-2014 22:18:23

Bonjour, je n'ai pas regardé le travail géométrique, mais voilà, en cherchant une réponse négative, j'ai trouvé un triplet solution : 69 ;30 ; 81)

Voici mon raisonnement dans sa totalité,

Je pensais commencer en jouant sur la parité, [tex]2b^2=(a-1)(c-1)[/tex]

donc [tex]a-1[/tex] ou [tex]c-1[/tex] est pair. Mais en fait, modulo 2, l'égalité initiale donne a et c de même parité.

donc a et c sont impairs ; [tex]a= 2a_1+1[/tex] et [tex]c=2c_1+1[/tex]

On a alors, [tex]4a_1 ^2+4a_1+1+2b^2=4c_1 ^2+4c_1+1[/tex] soit [tex]4a_1 ^2+4a_1+2b^2=4c_1 ^2+4c_1[/tex].
En travaillant modulo 4, on déduit que b est pair.

d'où [tex]2b_1 ^2 = (c_1-a_1)(c_1+a_1+1)[/tex]

Bon, ben quand il faut y aller …

Cas 1, [tex]a_1=2a_2+1[/tex] et [tex]c_1=2c_2+1[/tex] donne [tex]b_1 ^2 = (c_2-a_2)(2c_2+2a_2+3)[/tex]

Cas 2, [tex]a_1=2a_2[/tex] et [tex]c_1=2c_2[/tex] donne [tex]b_1 ^2 = (c_2-a_2)(2c_2+2a_2+1)[/tex]

Cas 3, [tex]a_1=2a_2+1[/tex] et [tex]c_1=2c_2[/tex] donne [tex]b_1 ^2 = (2c_2-2a_2 -1)(c_2+a_2+1)[/tex]

Cas 4, [tex]a_1=2a_2[/tex] et [tex]c_1=2c_2 +1[/tex] donne [tex]b_1 ^2 = (2c_2-2a_2 +1)(c_2+a_2+1)[/tex]

Là, j'ai douté, fortement, de pouvoir faire quelque chose.

Je me suis intéressé au cas 2, par exemple, [tex](3*5)*(3*5)=3*(3*5*5)[/tex]

75, c'est [tex]2*37+1[/tex], je cherche alors [tex]c_2+a_2=37[/tex] et [tex]c2-a_2=3[/tex], soit [tex]c_2=20[/tex] ; [tex]a_2=17[/tex] et [tex]b_1=15[/tex]

soit [tex]c_1=40[/tex] ; [tex]a_1=34[/tex] et [tex]b_1=15[/tex]

soit [tex]c=81[/tex] ; [tex]a=69[/tex] et [tex]b=30[/tex]
et en effet, [tex]69^2+2*30^2=81^2[/tex]

ymagnyma · 05-08-2014 22:27:43

Dans la démonstration géométrique, pourquoi imposer ABC isocèle ?
Je refais la construction sur géogébra sans imposer cette condition ...

ymagnyma · 05-08-2014 22:44:17

Bon, j'ai évidemment repris les longueurs que j'avais trouvées AB=69, BC=30 ; BD=30 sqrt(2) et AD=81.
ABC peut donc être isocèle en A, si bien que je ne vois pas où ça coince dans la démo, et pourtant, ça coince.

ymagnyma · 05-08-2014 22:47:47

Si, sur géogébra, je constate que (BD) est tangente au cercle de centre A et de rayon 69, si bien que dans le cas de prendre ABC isocèle en A, on tombe dans le cas très particulier où B=C.

ymagnyma · 05-08-2014 22:49:37

Il se fait tard, j'écris des bêtises, il y a un truc qui cloche, mais ce n'est pas ça, à reprendre.

Dernière modification par ymagnyma (05-08-2014 22:49:52)

yoshi · 05-08-2014 23:18:37

RE,

Dans la démonstration géométrique, pourquoi imposer ABC isocèle ?
Je refais la construction sur géogébra sans imposer cette condition ..

Parce que l'origine du questionnement vient d'essayer de prouver ce que j'ai pu constater sur quelques milliers d'exemples : dans un triangle isocèle (à côtés entiers), on ne peut pas trouver de centre de gravité qui soit à distances entières des 3 sommets.

Je prends ton triplet a=69, b=30.
hauteur [AH] issue du sommet A : [tex]h^2 = 69^2-15^2 = 4536[/tex] d'où [tex]h =\sqrt{4536}\approx 67.34983296193094...[/tex]
Et AG en valant les 2/3, n'est pas entière...
Calculs théoriques
[tex]h^2=a^2\frac{b^2}{4}=\frac{4a^2-b^2}{4}[/tex] et [tex]AG^2=\frac{4a^2-b^2}{4}\times \frac 4 9 =\frac{4a^2-b^2}{9}[/tex]

AG est entière si [tex]4a^2-b^2[/tex] est multiple de 9 et [tex]\frac{4a^2-b^2}{9}[/tex] carré parfait...
[BC] la base...
[tex]BG^2=\frac{b^2}{4}+\frac{4a^2-b^2}{9}\times \frac 1 4=\frac{9b^2+4a^2-b^2}{36}=\frac{4a^2+8b^2}{36}=\frac{a^2+2b^2}{9}[/tex]
Et donc pour que BG soit entière, il faut que [tex]a^2+2b^2[/tex] soit divisible par 9 et [tex]\frac{a^2+2b^2}{9}[/tex] carré parfait...

J'avais formulé : Et donc pour que BG soit entière, il faut que [tex]a^2+2b^2[/tex] soit divisible par 9 et carré parfait : je me suis aperçu que c'était elliptique et pas assez clair, voire incorrect...
81² est divisible par 9 mais 81²/9 n'est plus un carré...

Merci je verrai ça attentivement demain...

@+

[EDIT]
Ma démo géométrique est fausse en B à (AB), alors évidemment ABD est rectangle en D et AD²=a²+2b²...
Mais le dessin ne prouve pas que AD est entière !
C'est donc plus complexe que cela...
Parce que je m'aperçois avec ton exemple que si a²+2b² est bien un carré, 4a²-b² lui ne l'est pas et bien sûr [tex]\frac{4a^2-b^2}{9}[/tex] pas plus...
Mais avec un dessin, je vois qu'on peut trouver simultanément a²+2b² étant un carré et 4a²-b² aussi avec les même a et b...
Reste le problème de l'appartenance à [tex]\mathbb{N}[/tex] de la racine...

Dernière modification par yoshi (05-08-2014 23:48:48)

ymagnyma · 06-08-2014 18:09:59

Je sèche, je suis arrivé au point suivant : si [tex]4a^2-b^2[/tex] est un carré, alors [tex]a^2+2b^2[/tex] est divisible par 7, mais en multipliant le couple (69 ; 30) par 7, ça ne le fait pas.

yoshi · 06-08-2014 20:24:03

Salut,

Curieux. On peut voir comment ?
Je suis arrivé à la précision suivante :
en fait, je cherche vainement [tex]a,b,m,n \in \mathbb{N}[/tex] tels que[tex] a^2+2b^2=9m^2[/tex] et [tex]4a^2-b^2 = 9n^2[/tex]
J'ai effectué des tests bruteforce avec Python sur environ 4.000.000 de couples (a,b) (avec a >2b pour que mon triangle isocèle existe) sans succès...

Finalement pas si évident que ça ce problème... ^_^

@+

jpp · 07-08-2014 07:51:52

salut.

en fait on pose: [tex]a^2=(x-y)^2[/tex]

[tex]c^2=(x+y)^2[/tex]

[tex]2xy = b^2[/tex]

x & y sont bien entendu des entiers positifs . 2xy doit être un carré , alors au moins un des 2 nombres est pair

alors , en utilisant les identités remarquables [tex](x+y)^2 - 4xy = (x-y)^2[/tex]

[tex]c^2 - 2b^2 = a^2[/tex]

on pose y=2 par exemple . alors x est un carré. Et les valeurs x = 4 , 9 , 16 , 25 ....100... donneront les couples (x,y)
suivants
(x,y) = (4,2) , (9,2) , (16,2) , (25,2)....(100,2)

et les triplets (a,b,c) = (2,4,6) , (7,6,11) , (14,8,18) , (23,10,27)....(98,20,102)...

le triplet (1,2,3) est solution lui aussi. avec x=2 et y=1

ça c'est uniquement pour y = 2 . et il y a déjà une infinité de triplets

à plus.

yoshi · 07-08-2014 09:52:32

Salut,

Bravissimo !

Hélas, l'énoncé initial a été modifié et j'ai bien précisé les conditions de travail (post #7) et que (post #9) je dois impérativement avoir [tex]a^2+2b^2 = 9m^2[/tex] et [tex]4a^2-b^2 =9n^2[/tex] vrais simultanément (pléonasme à cause du "et")...

et les triplets (a,b,c) = (2,4,6) , (7,6,11) , (14,8,18) , (23,10,27)....(98,20,102)...

a,b = 2,4
a²+2b² = 2²+2*4² = 36=9*2² ok !
4a²-b² = 4*49-6² = 160 ni carré, ni multiple de 9.
---------------------------------------------------
a,b = 14,8
a²+2b² = 14²+2*8² = 324 = 9 * 36 ok...
4a²-b² = 4*14²-8² = 720 = 9*80 n'est pas un carré

Mais c'est déjà beau...
Il fallait y penser !

@+

freddy · 07-08-2014 10:23:27

Salut,

pour la question initiale, la solution de jpp est très élégante, faut le dire :-)
Possible que ça puisse aider pour la question enrichie ;-)

Enjoy !

ymagnyma · 07-08-2014 20:02:31

Bonsoir, comment ai-je trouvé que [tex]a^2+2b^2[/tex] est un multiple de 7 ! Je viens de me relire, c'est un régal !

On veut d'une part que [tex]4a^2+b^2=d^2[/tex] et d'autre part que [tex]a^2+2b^2 = c^2[/tex] si je résume bien le #post 7, (ça ne s'invente pas).

en multipliant la deuxième égalité par 4 puis en injectant la première, j'obtiens [tex]d^2+7b^2=c^2[/tex].

Donc, modulo 7, [tex]d^2=c^2[/tex].

Je reprends alors le premier système, en le regardant modulo 7.

[tex]4a^2+b^2 = c^2 [7][/tex]
[tex]a^2+2b^2 = c^2 [7][/tex]

par soustraction, [tex]3a^2-b^2 = 0 [7][/tex]
soit [tex]3a^2+6b^2=0[7][/tex]
soit [tex]a^2+2b^2=0[7][/tex] (3 et 7 étant premier entre eux).

Combien de bourdes dans ce raisonnement ? C'est la question du jour, enfin, de la nuit pour noctambules en forme.

yoshi · 07-08-2014 21:41:27

Nan ! nan !

On veut d'une part que [tex]4a^2+b^2=d^2[/tex] et d'autre part que [tex]a^2+2b^2 = c^2[/tex] si je résume bien le #post 7, (ça ne s'invente pas).

Pas [tex]4a^2+b^2[/tex] mais [tex]4a^2-b^2[/tex] !!!!

Mais ça me donne des idées...

@+

ymagnyma · 07-08-2014 21:55:03

Ben oui, au passage, je viens de voir une bonne bourde, on n'obtenait non pas [tex]d^2+7b^2=c^2[/tex] mais [tex]d^2+7b^2=4c^2[/tex] ...

Un jour, faudra que j'apprenne à m'appliquer.

Dernière modification par ymagnyma (07-08-2014 21:55:22)

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#1 05-08-2014 09:49:08

Peut-on trouver dans N un triplet (a,b,c) tel que a²+2b² = c² ?

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#14 07-08-2014 21:41:27

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#15 07-08-2014 21:55:03

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