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hectors

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Calcul avec des " O(k)"

Bonjour, je n'arrive pas à comprendre ces calculs, quelqu'un pourrait m'aider ? Merci d'avance.

Soit N et D tel que [tex]  u_{n}^{'} =  \frac{u_{n}^{2} - u_{n+1} \times u_{n-1}} {2 u_n - u_{n+1} - u_{n-1} }[/tex] = [tex]\frac{N}{D}[/tex] , d'où [tex]u_{n}^{'} - l = \frac{N - lD}{D} [/tex] (Jusqu'ici tout va bien )

On pose [tex]u_{n}= l + \lambda k^{n} + w_{n}  [/tex] , et on suppose qu'on a   [tex] |w_n| \le A|k^{' n}| [/tex] . (Ok pour moi)
On voit alors que le dénominateur D de [tex] u_n^{'} - l [/tex] est équivalent à [tex] -\lambda (k-1)^{2} k^{ '  n-1}, [/tex] (Rien ne va plus, je ne comprends plus :o  ) tandis que le numérateur [tex]N- lD [/tex]qui vaut [tex]N-lD = \lambda k^{n-1} ( 2k w_n - k^{2} w_{n-1} - w_{n+1}) + w_{n}^{2} - w_{n+1} \times w_{n-1}[/tex] est majoré en valeur absolue par [tex]M_0 |k|^{n-1} \times |k^{'}| ^{n} [/tex] où [tex] M_0 [/tex] est une constante strictement positive. (Je ne comprends pas cette majoration également ...)

Encore merci d'avance :)

Dernière modification par hectors (17-07-2014 18:04:33)

Fred

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Re : Calcul avec des " O(k)"

Allez, je me lance pour le numérateur....

D'abord, je mets des valeurs absolues partout :
[tex] |N-lD|\leq \lambda |k|^{n-1} (2k A |k'|^n +A k^2 |k'|^{n-1}+ A |k'|^{n+1}) +A^2 |k'|^{2n}+A^2 |k'|^{2n} [/tex]

Je mets ce que je veux en facteur :
[tex] |N-lD|\leq |k|^{n-1} |k'|^n (2\lambda kA+\lambda Ak^2/|k'|+\lambda A|k'| +2 A^2 |k'|^n/|k|^{n-1}) [/tex]

Dans la parenthèse, les trois premiers termes ne posent pas de problèmes puisque ce sont des constantes, et le dernier tend vers 0 puisque j'imagine [tex] |k'|<|k| [/tex]. En particulier, si cela tend vers 0, c'est que c'est borné.
Tout cela, c'est modulo les erreurs de calcul (il est tard, et j'ai fait directement le calcul en tapant sur l'ordinateur), mais en tout cas l'idée est là.

Fred.