Forum de mathématiques - Bibm@th.net

lambda

Membre

Inscription : 27-06-2014

Messages : 40

Droites tangentes à une courbe

Bonjour,

Ayant à maintes reprises visité votre site, et apprécié l'ambiance de votre forum, regorgeant de sujets intéressants, j'ai fait le choix de m'y inscrire. Je viens d'achever mon année de troisième et j'entrerai bientôt au lycée !

Depuis deux semaines, je me suis initié à la programmation informatique afin de profiter de la puissance des ordinateurs pour m'amuser à réaliser des figures géométriques à l'aide du module turtle. J'ai fais le choix d'apprendre le langage de programmation Python car c'est un langage simple, à la syntaxe claire.

Voici la figure que j'obtiens,
une figure que je m'amusais à reproduire lorsque j'étais plus jeune sans savoir ce qu'elle représentait !

Je vous présente mon programme.
Le paramètre [tex]longueur[/tex] désigne la taille des deux segments alignés aux axes [tex]x, y[/tex] (la taille de la figure) tandis que le paramètre [tex]nombreCordes[/tex] indique le nombre de droites tangentes à cette courbe. La courbe étant constituée d'une infinité de tangentes, le paramètre [tex]nombreCordes[/tex] doit tendre vers l'infini si l'on souhaite représenter fidèlement la courbe.

from turtle import goto, penup, pendown

speed(0)

def cordes(longueur, nombreCordes):
    pas = float(longueur)/nombreCordes
    for i in range(0, nombreCordes + 1):
        penup()
        goto(longueur - pas*i, 0)
        pendown()
        goto(0, pas*i)

Je l'ai fait tout seul donc c'est vraiment gratifiant d'avoir su parvenir à décomposer un problème en une suite d'instructions par soi-même.

Seulement, un problème persiste et la tâche s'annonce vraiment très ardue. Je souhaite en effet en déduire la fonction dont la représentation graphique soit cet ensemble infini de points appartenant à cette courbe. Je fais appel à vos connaissances et à votre professionnalisme pour me partager cette fonction.

Je vous remercie pour toute recherche, toute tentative de réponse à mon problème !
Je vous souhaite une agréable journée !

Dernière modification par lambda (06-07-2014 18:08:30)

totomm

Membre

Inscription : 25-08-2011

Messages : 1 093

Re : Droites tangentes à une courbe

Bonjour,

@ lambda : Ce que tu as fait est tout à fait remarquable !

Pour donner la courbe " enveloppe du segment [AB] ", j'appelle length = a (a est un paramètre fixe)
J'utilise un paramètre "mobile" m avec [tex]0 \leq m \leq a[/tex]
Le point A a pour coordonnées (m ; 0) et le point B (0 ; a-m) : si j'ai bien vu que B descend de m quand A va à droite de m.
La courbe a alors pour équation paramétrée : [tex]x=\frac{m^2}{a}\ et \ y=\frac{(m-a)^2}{a}[/tex]
Ou, en coordonnées cartésiennes : [tex](x-y+a)^2-4ax=0[/tex]

On obtient ce résultat en écrivant l'équation de la droite(AB) en fonction de m
Puis en faisant varier m d'une petite quantité h qui met la droite (AB) en (A'B')
On calcule le point d'intersection des droites (AB) et (A'B') et on fait tendre h vers zéro :
le point d'intersection est alors le point de contact avec (AB) de la courbe "enveloppe de (AB) ".
Mais ces considérations sont du niveau Lycée…

lambda

Membre

Inscription : 27-06-2014

Messages : 40

Re : Droites tangentes à une courbe

Je tiens à te remercier totomm !

Je viens de comprendre à peu près ce qu'est ta fonction paramétrée, et en quoi elle m'est utile. J'en ai déduit que pour tracer sa représentation graphique, il faut calculer à chaque fois la position d'un point de coordonnées [tex](x, y)[/tex] tel que
[tex]x = \frac{m^2}{a}[/tex] et [tex]y = \frac{(m - a)^2}{a}[/tex], pour toute valeur de [tex]m[/tex] !

Voici ce que j'obtiens

La fonction paramétrée implémentée par mes propres soins

from turtle import goto, forward, left, speed

speed(0)

def courbe(longueur, nombreCordes):
    pas = longueur/nombreCordes
    for i in range(nombreCordes):
        x = pow(i*pas, 2)/longueur
        y = pow(i*pas - longueur, 2)/longueur
        goto(x, y)
courbe(300, 300)

Cependant, je m'attendais à te voir écrire une fonction telle que je les ai vues en troisième, tel que [tex]i(n) = y[/tex] par exemple, car j'ignorais jusque là ce qu'étaient les fonctions paramétrées. En outre, je viens de découvrir la fonction non paramétrée qui modélise cette courbe, [tex]f(x) = x - 2 \sqrt{x} + 1[/tex] ! Super !

Au revoir !

Dernière modification par lambda (06-07-2014 18:12:09)

lambda

Membre

Inscription : 27-06-2014

Messages : 40

Re : Droites tangentes à une courbe

Bonjour,

La courbe a alors pour équation paramétrée : [tex]x = \frac {m^2} {a}[/tex] et [tex]y = \frac {(m−a)^2}{a}[/tex]

Totomm, j'ai décidé de suivre tes indications afin de retrouver l'équation paramétrée. J'essaye de rédiger le plus clairement possible.

Soit [tex]l[/tex] un paramètre fixé, la longueur du segment [tex][AB][/tex].
Soit [tex]n[/tex] le nombre de droites tangentes à la courbe.
Soit [tex]m[/tex] un paramètre dont les valeurs qu'on lui donne doivent être comprises entre [tex]0[/tex] et [tex]l[/tex], donc [tex]0 ≤ m ≤ l[/tex].
En outre, [tex]m_i = i \times h[/tex] avec [tex]h = \frac {l}{n}[/tex].
Soit le point [tex]A(m ; 0)[/tex] et le point [tex]B(0 ; l - m)[/tex].

Écrivons l'équation de la droite [tex](AB)[/tex] en fonction de [tex]m[/tex],

La droite [tex](AB)[/tex] passe par l'ordonnée à l'origine [tex]b(0 ; l - m)[/tex], donc la fonction qui modélise cette droite est une fonction affine.
Donc, [tex]y = ax + b[/tex], puis [tex]y = ax + l - m[/tex].

Exprimons en fonction de [tex]m[/tex] le coefficient directeur de la droite [tex](AB)[/tex], soit [tex]a[/tex],
[tex]a = - \frac {l - m}{m}[/tex]

Ainsi,
[tex]y = - \frac{l - m}{m}x + l - m[/tex]

Écrivons l'équation de la droite [tex](A'B')[/tex] en fonction de [tex]m[/tex],
en augmentant [tex]m[/tex] de [tex]h[/tex], pour dessiner la droite qui succède à [tex](AB)[/tex]

[tex]y' = - \frac{l - (m + h)}{m + h}x + l - (m + h)[/tex]

Déterminons le point d'intersection des deux droites [tex](AB)[/tex] et [tex](A'B')[/tex].
On obtiens [tex]y = y'[/tex], d'où

[tex] - \frac{l - m}{m}x + l - m = - \frac{l - (m + h)}{m + h}x + l - (m + h)[/tex]

[tex]x \Bigg{(}  - \frac{( l - m)(m + h)}{m(m + h)} + \frac{m(l - m - h)}{m(m + h)} \Bigg{)} = - h[/tex]

... Après s'être bien amusé à tout développer (sourire), on factorise par [tex]x[/tex]
[tex]x \Bigg{(}  \frac{-lh}{m^2 + hm} \Bigg{)} = -h[/tex]

... Au final on obtient effectivement
[tex]x = \frac{m^2 + h}{l}[/tex]

En faisant tendre [tex]h[/tex] vers [tex]0[/tex], il devient négligeable donc,
[tex]x = \frac{m^2}{l}[/tex]

Maintenant, substituons [tex]x[/tex] dans l'équation
[tex]y = - \frac{(l - m)m^2}{ml} + l - m[/tex]

[tex]y = - \frac{(l - m)m^2}{ml} + \frac{(l - m)ml}{ml}[/tex]

[tex]y = \frac{(l - m)(m(-m + l))}{ml}[/tex]

d'où
[tex]y = \frac{(l -m)^2}{l}[/tex]

Le point d'intersection est alors le point de contact avec [tex](AB)[/tex] de la courbe  [tex]"[/tex]enveloppe de [tex](AB)"[/tex].

Donc, les points d'intersections de coordonnées [tex](x, y)[/tex] où [tex]x = \frac{m^2}{l}[/tex] et [tex]y = \frac{(l -m)^2}{l}[/tex] appartiennent à la fameuse courbe !

Merci totomm pour tes indications. Je me suis trompé à certains moments mais on m'a un peu guidé lorsque je développais alors qu'il était plus judicieux de factoriser... Ce fut vraiment laborieux. Mais cela m'a permis de bien m'entraîner à développer et factoriser !

Au revoir !

Dernière modification par lambda (29-06-2014 19:01:58)

totomm

Membre

Inscription : 25-08-2011

Messages : 1 093

Re : Droites tangentes à une courbe

Bonjour,

@ lambda : Tu as déjà en tête bien des concepts qui te seront développés au lycée : dérivées, tangentes, limites....
Surtout rappelle-toi que lorsque l'on prend h petit (tout petit puisqu'on le fait tendre vers zéro) alors tout ce qui est en h² est vraiment encore plus petit et on "simplifie" en le supprimant froidement des développements...

Pour tout ce qui est géométrie, je te conseille GeoGebra (logiciel libre et gratuit) :
J'ai donné au post #2 la fonction  [tex](x−y+a)^2−4ax=0[/tex] en coordonnées cartésiennes.
C'est ta fonction [tex]f(x)=x−2\sqrt{x}+1[/tex] où [tex]f(x)=y[/tex] et a = 1, mais sous une forme plus normalisée.

Je me risque même à dire : On reconnait une parabole. (Je ne risque pas de remontrance de yoshi , puisque l'on n'est pas dans le Forum d'aide au collège)

Bonne continuation

lambda

Membre

Inscription : 27-06-2014

Messages : 40

Re : Droites tangentes à une courbe

Bonjour totomm,

Surtout rappelle-toi que lorsque l'on prend h petit (tout petit puisqu'on le fait tendre vers zéro) alors tout ce qui est en h² est vraiment encore plus petit et on "simplifie" en le supprimant froidement des développements...

Ah oui ! C'est en rapport avec ce que j'ai vu concernant les rapports de réduction, lorsque [tex]k< 1[/tex], et qu'on le multiplie par lui-même, c'est-à-dire un nombre inférieur à un, alors [tex]k^2[/tex] est bien plus petit que [tex]k[/tex] !

Je me risque même à dire : On reconnait une parabole.

Une parabole, ce n'est pas la représentation graphique de la fonction [tex]i(x) = x^2[/tex] ???
Dans ce cas, [tex]f(x)=x−2√x+1[/tex] où [tex]f(x)=y[/tex] n'est pas une parabole.

Pour tout ce qui est géométrie, je te conseille GeoGebra (logiciel libre et gratuit)

En effet, c'est un très bon logiciel de géométrie dynamique.

Je viens de voir un article sur L’art de tendre des fils (sic) qui traite de ces enveloppes, rendez-vous ici ! C'est super !

J'ai généralisé le problème en écrivant un programme qui prend en compte l'angle que forment les deux segments de l'enveloppe

Voici le programme Python

from turtle import Turtle, speed

speed(0)

def parabole(longueur, angle, nombreCordes):

    a, b, c = Turtle(), Turtle(), Turtle()
    a.hideturtle()
    b.hideturtle()
    c.hideturtle()

    pas = longueur/nombreCordes
    angleAlpha = 90 - angle/2

    a.left(angleAlpha)
    a.forward(longueur)
    b.left(angleAlpha + angle)

    for i in range(nombreCordes):

        a.forward(-pas)
        coordonneesPointA = a.pos()

        b.forward(pas)
        coordonneesPointB = b.pos()

        c.goto(coordonneesPointA)
        c.pendown()
        c.goto(coordonneesPointB)
        c.penup()

parabole(500, 60, 50)

Au revoir.

Dernière modification par lambda (06-07-2014 18:24:46)

totomm

Membre

Inscription : 25-08-2011

Messages : 1 093

Re : Droites tangentes à une courbe

Re Bonjour,

@lambda : Tu as bien de la chance avec ton esprit curieux, tu vas apprendre des choses de plus en plus passionnantes.

Une parabole est un objet dont l'axe est vertical quand il est sous la forme [tex]y=x^2[/tex]
Alors l'axe de la parabole correspond avec l'axe des ordonnées.
Mais les axes de coordonnées et la parabole peuvent être déplacés.
Ici la parabole à son axe sur la première bissectrice ( la droite y=x ) et son sommet n'est pas à l'origine. !!

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Droites tangentes à une courbe

Salut,

Bravo à totomm... Non, pas de foudre, pourquoi ? Je ne passe pas mon temps à vilipender les uns et les autres : on peut même être d'accord ! ^_^...
Je vais lui suggérer le tracé de deux autres courbes... à partir du prog de 4e : j'ai toujours aimé détourner les exercices pour monter quelques crans de niveau, tel cet exercice de 6e devenu exercice de terminale (là)...

Bienvenue à toi lambda !
Un amoureux des maths ! Tu iras loin, mon gars, si tu conserves la même curiosité...
En prime, il utilise LateX comme un chef alors qu'un certain nombre d'étudiants ne le font pas (officiellement : n'arrivent pas !).
Très bien ton lien.
Tiens je te propose deux exercices de 4e.
1. Une échelle de 400 pieds est posée verticalement contre un mur perpendiculaire à un sol bien plat.
    On la suppose sans épaisseur pour les besoins du problème.
    Si elle se met à glisser contre le mur, le pied restant en contact avec le sol, son sommet avec le mur, quelle est la courbe décrite par un nœud rouge fixé en son milieu ? Peux-tu la matérialiser avec turtle ?

2. On considère un demi-cercle de diamètre [AB]. Sur ce demi-cercle, on place un point C quelconque et on trace le triangle ABC.
    Soit H le pied de la perpendiculaire à (AB) passant par C.
    Tracer les cercles (C₁) et (C₂) de diamètres [AH] et [BH].
    Soient G et I, les points d'intersection de (C₁) avec [AC] et de (C2) avec [BC].
    Quelle est la nature du quadrilatère CGHI ?
    Là s'arrête le problème de 4e facile pour toi..
    Puis un jour, l'idée m'est venue de prolonger ce problème en appelant M le milieu de [CH] et en cherchant sur quelle courbe se déplace M quand C décrit le demi-cercle de diamètre [AB].
    Serais-tu capable de montrer cette courbe à l'écran avec turtle ?
    Petites précisions au cas où.
    Les fonctions trigonométriques (et pi) ne sont accessibles que si on les importe du module math : from math import sin,cos,tan,pi...

Dans les deux exercices, il est plus simple de tracer les courbes point par point en donnant les coordonnées...

J'ai vérifié que les calculs mathématiques utilisés ne dépassent pas le niveau 3e...

@+

lambda

Membre

Inscription : 27-06-2014

Messages : 40

Re : Droites tangentes à une courbe

Bonjour yoshi,

Tiens je te propose deux exercices de 4e.
1.     Une échelle de 400 pieds est posée verticalement contre un mur perpendiculaire à un sol bien plat.
        On la suppose sans épaisseur pour les besoins du problème.
        Si elle se met à glisser contre le mur, le pied restant en contact avec le sol, son sommet avec le mur,
        quelle est la courbe décrite par un nœud rouge fixé en son milieu ? Peux-tu la matérialiser avec turtle ?

Je me suis lancé dans le premier exercice et que vois-je ?

from turtle import speed, goto, dot, penup, pendown, color

speed(0)
color('#c080ff')

def cordes(longueur, nombreCordes):
    pas = float(longueur)/nombreCordes
    for i in range(0, nombreCordes + 1):
        penup()
        goto(longueur - pas*i, 0)
        pendown()
        goto(0, pas*i)
        goto((longueur - pas*i)/2, (pas*i)/2)
        dot(5, '#c000c0')

cordes(500, 20)

À première vue, on dirait que cet ensemble de points rouges forment la droite tangente du point au [tex]"milieu"[/tex] de la courbe.
Tout à l'heure, je me plongerai de nouveau dans le second exercice que tu as eu la gentillesse de me donner. Ça se corse.

Merci yoshi pour ce partage.

Au revoir.

Dernière modification par lambda (06-07-2014 19:11:04)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Droites tangentes à une courbe

Salut,

À première vue, on dirait que cet ensemble de points rouges forment la droite tangente du point au "milieu" de la courbe !

Et à deuxième vue ?
Ne trace pas les droites, elles faussent ta vision et la place du point rouge est fausse.
L'échelle a une longueur constante 400...
Soient S le sommet de l'écchelle, P son pied et M le milieu de [SP].
Si le pied du mur est pris comme origine O des coordonnées, quand l'échelle est verticale, les coordonnées
* du sommet S sont (0 ;400)
* du pied P sont (0 ; 0)
* du milieu de M] (0 ; 200)

quand l'échelle est horizontale, les coordonnées
* du sommet sont (0 ; 0)
* du pied sont (400 ; 0)
* du milieu  M  sont (200 ; 0)

quand l'échelle glisse, les coordonnées
* du sommet sont (0 ; y)
* du pied sont (x ; 0)
* du milieu  M  sont (x/2 ; y/2)

Reste à déterminer y connaissant x, ou x connaissant y sachant que SP = 400 : c'est ce que j'ai fait.
En 4e on ne sait pas calculer ainsi, par contre si tu regarde le triangle SOP de près, tu verras qu'on y procède autrement pour trouver la nature de la courbe. Mon sujet était de tracer cette courbe.
Là, j'enfonce des portes ouvertes...

@+

totomm

Membre

Inscription : 25-08-2011

Messages : 1 093

Re : Droites tangentes à une courbe

Bonsoir,

Attention jeune et fougueux lambda : La facilité fait écrire des âneries.
Toujours vérifier et ré-vérifier ce que l'on a écrit, si possible par une méthode différente

Qu'est ce l à droite qui a perdu son carré ?

lambda

Membre

Inscription : 27-06-2014

Messages : 40

Re : Droites tangentes à une courbe

Bonjour,

Attention jeune et fougueux lambda : La facilité fait écrire des âneries.

Je m'en suis rendu compte et j'ai supprimé mon message tellement j'étais horrifié !

Là, j'enfonce des portes ouvertes...

(Sourire !) Bon, on arrête le massacre.

ou encore

Si tu regarde le triangle SOP de près, tu verras qu'on y procède autrement pour trouver la nature de la courbe. Mon sujet était de tracer cette courbe.

[tex]Mea[/tex] [tex]culpa ![/tex]

Moralité : je me suis lancé dans ton problème trop rapidement, j'en suis conscient. Je retiens la leçon.
Je reformule donc le problème que tu m'as donné

J'ai même fait un dessin ! Un bon croquis vaut mieux qu'un long discours, n'est-ce pas ?

Soit [tex]l[/tex] la longueur de l'échelle (longueur fixée)
Soit [tex]x[/tex] la longueur qui nous indique de combien descend l'échelle sur l'axe des [tex]y[/tex] (longueur fixée).
Soit [tex]a[/tex] la longueur qui nous indique de combien "glisse" l'échelle sur l'axe des [tex]x[/tex] (longueur à déterminer).

Il ne m'a pas échappé que pour déterminer [tex]a[/tex] en fonction des autres longueurs, je n'ai qu'une toute simple application du fameux théorème de Pythagore.

D'où la relation suivante
[tex](l - x)^2 + a^2 = l^2[/tex]

En isolant [tex]a[/tex] on obtient
[tex]a^2 = x(-x + 2l)[/tex]

La prochaine fois je reformulerai le problème au lieu de me lancer tête baissée !

Merci yoshi.

Dernière modification par lambda (03-07-2014 12:23:50)

lambda

Membre

Inscription : 27-06-2014

Messages : 40

Re : Droites tangentes à une courbe

Bonjour,

Yoshi, j'ai trouvé ! C'est génial ! J'ai persévéré !

Le code et l'image que j'ai annotée afin qu'elle nous soit plus exploitable

La figure me laisse penser qu'il s'agisse d'un quart de cercle

from turtle import goto
from math import sqrt

def courbe(longueur):
    for i in range(longueur):
        goto((sqrt(i*(-i + 2*longueur)))/2, (longueur - i)/2)

courbe(500)

Le calcul de [tex]a[/tex] dans mon programme est compliqué, peut-on le simplifier, confère le message du dessus ? Non, je ne crois pas, j'ai bien un produit, autant le conserver.

J'ai commencé ton second problème sur Geogebra et cela m'a l'air très intéressant [tex](sa[/tex] [tex]seconde[/tex] [tex]partie[/tex] [tex]en[/tex] [tex]particulier)[/tex]. Je vais chercher et je ne me découragerais pas.

À bientôt ! Et merci Yoshi !

Dernière modification par lambda (06-07-2014 19:13:18)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Droites tangentes à une courbe

Bonsoir,

Oui, c'est un quart de cercle...
Regarde :

Que penses-tu de OM ? (pas le club !).
Je demandais ça en 4e (la preuve du 1/4 de cercle) : rien de bien sorcier donc.

Pour le 2nd sujet, je ne demandais en 4e, que la nature du quadrilatère, pas le nom de la courbe (là c'est autre chose !).
Il existe d'ailleurs une fonction qui permet de transformer le demi-cercle de diamètre [AB] en la demi-courbe à dessiner : je l'ai apprise quand j'ai passé mon Bac , elle n'est plus enseignée maintenant...
Tout comme, en 4e, j'ai appris à calculer une racine carrée à la main (les calculettes n'existaient pas encore) : ce n'est plus le cas maintenant et les jeunes profs ne l'ont donc jamais vue...

C'est en faisant des bêtises qu'on apprend : vois-tu, il est très rare qu'un programme informatique fonctionne du premier coup.
Pour le tracé des courbes, on peut installer dans Python, une bibliothèque additionnelle : matplotlib. C'est un plus compliqué que turtle, bien plus puissant et nécessite de connaître quand même correctement Python...

@+

lambda

Membre

Inscription : 27-06-2014

Messages : 40

Re : Droites tangentes à une courbe

Bonsoir tout le monde,

Que penses-tu de OM ? (pas le club !).

Ce que je pense de [tex]OM[/tex] ? Eh bien, étant donné que ce triangle [tex]POS[/tex] est rectangle en [tex]O[/tex], j'en déduis que [tex]OM[/tex], qui est la médiane de ce triangle, car étant la droite passant par le sommet [tex]O[/tex] du triangle et coupant l'hypothénuse en son milieu, est égale à la moitié de l'hypoténuse, d'où la relation suivante [tex]OM = \frac{1}{2} PS[/tex] !

Et cet arc de cercle, ce quart de cercle a pour rayon la longueur [tex]OM[/tex] !

Tout comme, en 4e, j'ai appris à calculer une racine carrée à la main

Cela devait être une tâche longue et laborieuse... Mais bien sûr vous n'aviez pas la chance de disposer de calculatrices qui évitent de passer du temps sur ces petits calculs pour se focaliser sur le sujet d'un exercice.

C'est en faisant des bêtises qu'on apprend : vois-tu, il est très rare qu'un programme informatique fonctionne du premier coup.

C'est bien vrai ! Et l'on est très content lorsque l'on y parvient ! Il faut persévérer.

Pour le tracé des courbes, on peut installer dans Python, une bibliothèque additionnelle : matplotlib. C'est un plus compliqué que turtle, bien plus puissant et nécessite de connaître quand même correctement Python...

Je vais chercher de ce côté là aussi... Mais il faut que je poursuive à bien maîtriser ce langage... Le module turtle est vraiment bien pour se familiariser avec la programmation informatique...

Au revoir ! Merci pour vos conseils avisés !

Dernière modification par lambda (30-06-2014 20:16:04)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Droites tangentes à une courbe

Re,

Et cette histoire d'un quart de cercle ? Elle m'aurait échappée ?

Oui, et je vois pas pourquoi...
Rappel définition :

On appelle cercle de centre O et de rayon R l'ensemble des points situés à la distance R du point O.

Et là tu as le point M qui est, dans son quadrant (si on trace le repère orthonormé de centre O), toujours à une distance de 200 pieds du point O.
Et voilà, il n'en faut pas plus... Non ?

Pour le 2nd exercice, avec Geogebra, quand tu auras fait ton dessin, clic droit le point, Propriétés, onglet Basique et coche Trace...
Avec turtle, cela nécessite que tu calcules les coordonnées du milieu de [CH] via la trigo d'abord sur papier.

@+

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Droites tangentes à une courbe

Bonjour,

A vrai dire, voilà un moment que je réfléchis à ton code et que je le comprends pas : je l'ai testé avec plusieurs valeurs valeurs : on a bien des 1/4 de cercle.
Alors  j'ai vérifié si c'était toujours vrai, à savoir si [tex]OM^2=x^2+y^2= \frac{l^2}{4}[/tex] où j'ai remplacé lenght par l , longueur de l'échelle.
[tex]x=\frac{l-i}{2}[/tex]
d'où
[tex]2x=l-i[/tex]  et [tex]i =l-2x[/tex]

[tex]y=\frac{\sqrt{i(2l-i)}}{2}[/tex]
d'où
[tex]4y^2 =i(2l-i)[/tex]
Je remplace i par l-2x :
[tex]4y^2=(l-2x)(2l-l+2x)[/tex]
[tex]4y^2=(l-2x)(l+2x)[/tex]
[tex]4y^2 = l^2-4x^2[/tex]
[tex]4x^2+4y^2=l^2[/tex]
et
[tex]x^2+y^2=\frac{l^2}{4}[/tex]
Tes coordonnées sont donc toujours exactes

Comment as-tu donc pensé à ta méthode ?
Moi, j'ai utilisé [tex]x^2+y^2=\frac{l^2}{4}[/tex]
et écrit :

for x in range(0,l/2+1):
    goto (x, int(sqrt(l**2/4 - x**2)))

Maintenant si tu sais que M est sur le cercle de centre O et de rayon l/2=200, il suffit prendre l'angle[tex] \widehat{POM}[/tex] de le faire varier de 0 à 90° .
H étant le pied de la perpendiculaire abaissée sur (OP), K celui de la perpendiculaire abaissée sur (OS)
ton cours de 3e dit :
[tex]OH = 200\times \cos \widehat{POM}[/tex]
[tex]OK = 200 \times \sin \widehat{POM}[/tex]

@+

lambda

Membre

Inscription : 27-06-2014

Messages : 40

Re : Droites tangentes à une courbe

Bonjour yoshi,

Je vous montre ma démarche pour trouver la fonction paramétrée qui modélise un cercle, un demi cercle, un quart de cercle...

Soit [tex]C[/tex] un point appartenant à un cercle.
Soit [tex]x_c[/tex] et [tex]y_c[/tex] les projetés du point [tex]C[/tex] sur les axes [tex]x, y[/tex].
Soit [tex]r[/tex] l'hypoténuse du triangle [tex]FCx_c[/tex].
Soit [tex]\alpha[/tex] un angle du triangle [tex]FCx_c[/tex].

On sait que, d'après les rapports trigonométriques, nous avons
[tex]cos \alpha = \frac{x_c}{r}[/tex]

d'où
[tex]x_c = cos \alpha \times r[/tex]

En outre,
[tex]sin \alpha = \frac{y_c}{r}[/tex]

d'où
[tex]y_c = sin \alpha \times r[/tex]

Pour tracer un cercle, un demi cercle, voire un quart de cercle, il me suffit de calculer les points de coordonnées [tex](x, y)[/tex] tels que [tex]x = cos \alpha \times r[/tex] et [tex]y = sin \alpha \times r[/tex] en faisant varier la valeur de l'angle [tex]\alpha[/tex] ! Génial !

Par exemple, pour tracer un demi-cercle, [tex]\alpha[/tex] prendra successivement les valeurs tel que [tex]0 ≤ \alpha ≤ 180°[/tex] !

Pour calculer les points [tex]E[/tex] milieux de [tex][Cx_c][/tex], il suffit de leur donner les coordonnées suivantes, [tex](x, y = \frac{sin\alpha \times r}{2})[/tex] !

Tout à l'heure, j'écrirai le programme.

Au revoir.

Dernière modification par lambda (01-07-2014 11:30:24)

lambda

Membre

Inscription : 27-06-2014

Messages : 40

Re : Droites tangentes à une courbe

Bonjour,

Ça y est Yoshi, j'ai implémenté la formule que j'ai trouvée !

from turtle import goto
from math import cos, sin, pi

def convertionDegreRadian(angle):
    return angle*pi/180

def courbe(taille, angle):
    for angleAlpha in range(angle):
        x = cos(convertionDegreRadian(angleAlpha))*taille
        y = (sin(convertionDegreRadian(angleAlpha))*taille)/2
        goto(x, y)

courbe(100, 180)

C'est super !

Au revoir.

Dernière modification par lambda (06-07-2014 18:47:06)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 385

Re : Droites tangentes à une courbe

Salut,

Bravo !
Fais la même chose avec la figure symétrique par rapport à (AB) et tu découvriras facilement de quelle courbe il s'agit !

Encore, félicitations !

Je vais regarder si je trouve autre chose dans mon sac à malices...

@+

lambda

Membre

Inscription : 27-06-2014

Messages : 40

Re : Droites tangentes à une courbe

Bonjour yoshi,

Fais la même chose avec la figure symétrique par rapport à (AB) et tu découvriras facilement de quelle courbe il s'agit !

Une ellipse ...

Par contre, en regardant un article en anglais sur les paraboles, j'ai trouvé ça

La parabole serait une section plane d'un cône ? Ayant étudié les sections planes en classe, cela m'a surpris !

Salut.

Dernière modification par lambda (15-10-2014 16:59:33)

totomm

Membre

Inscription : 25-08-2011

Messages : 1 093

Re : Droites tangentes à une courbe

La parabole serait une section plane d'un cône ? Ayant étudié les sections planes en classe, cela m'a surpris !

Ellipses et hyperboles peuvent aussi être vues comme sections planes de cônes !! Tu n'as pas fini d'être surpris !
Tu peux piocher au hasard sur internet, mais ce n'est pas forcément la bonne méthode pour bien structurer une pensée mathématique.
Le mieux est sans doute de suivre une progression sur un sujet qui t'intéresse dans un ouvrage bien écrit.
Yoshi est surement un bon conseil sur la façon de bien progresser...

Dernière modification par totomm (01-07-2014 16:29:31)