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hectors

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Suites numériques

Bonjour, je bloque sur une partie d'un exercice, pourriez-vous m'aider s'il vous plait?:

Voila la partie de l'énoncé qui me bloque:

Soit r₁ = [tex]\frac{-1 - \sqrt{5}}{2} [/tex]et Soit r₂ = [tex]\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}[/tex]

Soit u_n = (1 / ( r₂ - r₁)  )   ( (r₂ - u₁)  r₁ⁿ  + ( u₁ - r₁ ) r₂ⁿ )

Déterminer u₁ tel que la suite (u_n ) Soit à termes positifs.

J'ai essayé en raisonnant par rapport à r₂ - u₁ , Sachant que r₁ est inférieur à -1, mais je bloque totalement.

Merci d'avance.

PS: le message : "La balise sub] a été ouverte dans la balise tex], ceci n'est pas autorisé" m'empêche de présenter au mieux ma quetion.

freddy

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Re : Suites numériques

Bonjour, je bloque sur une partie d'un exercice, pourriez-vous m'aider s'il vous plait?:

Voila la partie de l'énoncé qui me bloque:

Soient  [tex]r_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} [/tex] et [tex]r_2=\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}[/tex]

Soit[tex] u_n = \frac{ (r_2 - u_1)r_1^n  + ( u_1 - r_1) r_2^n }{r_2-r_1}[/tex]

Déterminer [tex]u_1[/tex] tel que la suite [tex](u_n )[/tex] soit à termes positifs.

Salut,

c'est mieux comme ça ?

hectors

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Re : Suites numériques

Beaucoup mieux, je ne peux pas faire "insérer une équation" , mes paramètres de sécurité bloquent, je sais pas ce qu'il faut que je désactive.

Merci beaucoup!

freddy

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Re : Suites numériques

Re,

yoshi peut t'expliquer !

Sinon, que penses tu d'une idée comme [tex]u_1 = r_2[/tex] ? A moins qu'on souhaite avoir les deux racines ?!

hectors

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Re : Suites numériques

Oui, en effet si u₁ = r₂ cela prouve que la suite est positive. (Merci :) )
Cependant, comment prouver que si u₁ est différent de  r₂ , alors la suite n'est pas à terme positif? (ça fait partie de la question) Comme indication, il est conseille de regarder (-1)ⁿ u_n , mais je ne vois pas à quoi ça mène...

yoshi

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Re : Suites numériques

Salut,

L'éditeur d'équations de Fred demande Java pour fonctionner. Regarde autour de Java ce qu'il se passe...
Sinon, tu peux écrire du LateX sans pb de sécurité, il te suffit d'aller lire - attentivement - cette page :
Code LateX
de la mettre en pratique, et d'utiliser souvent le bouton Prévisualisation.
Je ne me sers pas de l'éditeur d'équations, freddy non plus et bien d'autres encore : nous avons appris à nous en passer et cela m'a conduit à rédiger la page citér ci-dessus...

Courage, même si ce n'est pas la mer à boire...

@+

[EDIT]

PS: le message : "La balise sub] a été ouverte dans la balise tex], ceci n'est pas autorisé" m'empêche de présenter au mieux ma quetion.

Normal, la barre d'outils des messages utilise le code HTML incompatible avec LateX.
Si c'est l'indice que tu cherches, le voilà  :
u_{1} qui affiche entouré des balises tex : [tex]u_{1}[/tex].
Le code de l'indice c'est l'underscore : _ ...
Conclusion : il n'y a pas de problème de sécurité, juste de langages différents.
Depuis l'éditeur d'équations, qui doit fonctionner en fait, tu as accès à un petit (70 ko) tuto en .pdf...

Dernière modification par yoshi (20-06-2014 19:10:37)

freddy

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Re : Suites numériques

Oui, en effet si u₁ = r₂ cela prouve que la suite est positive. (Merci :) )
Cependant, comment prouver que si u₁ est différent de  r₂ , alors la suite n'est pas à terme positif? (ça fait partie de la question) Comme indication, il est conseille de regarder (-1)ⁿ u_n , mais je ne vois pas à quoi ça mène...

Et si tu nous donnais toutes les questions du sujet plutôt que de nous les livrer au compte goutte ?!

hectors

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Re : Suites numériques

Sujet complet:
Déterminer u₁ pour que la suite (u_n) définie par

u₀=1
u_n+2=  -u_n+1 + u_n

soit à termes positifs

[EDIT]

l'équation caractéristique est donc r²+r-1=0

2 racines r₁= [tex]  \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}[/tex]  et r₂ = [tex]  \frac{-1 +\sqrt{5}}{2}[/tex]

Il existe donc A et B tel que u_n = A r₁ⁿ + B r₂ⁿ

et donc on a la suite [tex] u_n = \frac{ (r_2 - u_1)r_1^n  + ( u_1 - r_1) r_2^n }{r_2-r_1}[/tex]

après avoir identifié A et B selon les valeurs de u₀ et u₁

Après avoir trouvé la solution particulière u₁ = r₂ , il faut montrer que si u₁ différent de ( je n'ai pas trouvé le code latex pour "différent")  r₂ alors la suite n'est pas à termes positifs.

PS: l'idée d'étudier la limite de (-1)ⁿ u_n vient d'une correction que je n'ai pas comprise, justement...

Dernière modification par hectors (21-06-2014 11:59:38)

freddy

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Re : Suites numériques

Salut,

oui, c'est du ressort de la théorie des suites récurrentes linéaires d'ordre deux dont la plus célèbre est la suite de Fibonacci !

Le schéma de résolution est connu, c'est celui que tu indiques. (le code latex pour différent est \ne )

Ensuite, faut chercher comment montrer ce qu'on te demande, mais si tu ne donnes pas la correction que tu as sous les yeux, ça va être difficile de se raccrocher à elle.

Ce qui saute aux yeux est que [tex]r_1 \lt 0 \lt r_2[/tex] et que [tex]r_2 - r_1 = \sqrt5[/tex]. Faut un peu cogiter pour comprendre l'idée de l'usage de [tex](-1)^n\times u_n[/tex]

Dernière modification par freddy (22-06-2014 02:33:13)

hectors

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Re : Suites numériques

C'est marqué:

-Si r₂ [tex] \ne[/tex] u₁ alors, comme |r₁| > 1 > |r₂|    et r₁ < 0, on a (-1)ⁿ u_n --> +[tex]\infty[/tex] et donc (u_n) n'est pas à termes positifs.

C'est ça que je ne comprends pas du tout...

Dernière modification par hectors (23-06-2014 09:48:46)

freddy

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Re : Suites numériques

Salut,
La racine positive[tex] r_2[/tex] est inférieure à 1. Ceci permet de déduire qu'elle tend vers 0 quand n tend vers infini.
Donc c'est la racine négative de module supérieure à 1 qui va tout embarquer.
Le produit [tex](-1)^n(r_1)^n[/tex] est toujours positif, que n soit pair ou impair.
Ceci permet de conclure que si [tex]r_2-u_1[/tex] est positif donc la suite [tex](-1)^nu_n[/tex] tend bien vers + l'infini et donc la suite finit par être à termes négatif.
Sinon, la suite est alternée, positive, puis négative et donc jamais tout le temps positive.
Ce qui répond à la question.

Dernière modification par freddy (24-06-2014 11:30:38)

hectors

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Re : Suites numériques

J'ai compris, merci !