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marioss

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dm arithméthiques

salut,

s'il vous plait je cherche la meilleur méthode pour résoudre tels exercices . voilà : trouver : a et b dans N tel que :

[tex]\left\{\frac{153}{189}=\frac{a}{b}\,;\,pgcd(a,b)=15\right\}[/tex]

merci d'avance .

Dernière modification par marioss (20-05-2014 07:31:20)

yoshi

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Re : dm arithméthiques

Salut,

Chaque exercice est différent de son voisin, je ne crois pas qu'il y ait de recette miracle...
En l'occurrence ici, je ferais :
[tex]\frac a b =\frac{153}{189}=\frac{17}{21}[/tex]
La fraction est maintenant irréductible et on prend a=17*15 et b=21*15..

Si comme tu l'avais d'abord écrit, ton énoncé avait été :
[tex]\left\{\frac{153}{189}=\frac{a}{b}\,;\,a^b=15\right\}[/tex]
c'eut été une autre paire de manches et pour cause..

Attends d'autres avis.

@+

marioss

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Re : dm arithméthiques

merci yoshi

freddy

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Re : dm arithméthiques

Salut compère,

pas mieux !

yoshi

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Re : dm arithméthiques

Bonjour,

Suite à une discussion en privé avec totomm, je m'aperçois que depuis un moment, je néglige ce qui a été ma préoccupation durant des années, le "Pourquoi" au profit exclusif du comment...
Le "Pourquoi ai-je pensé à procéder ainsi ?" est parfois plus important que le "Comment je fais" et largement aussi formateur.
Ici en particulier.
Je m'en vais donc derechef ajouter un codicille à ma réponse...

J'ai donc écrit :

Chaque exercice est différent de son voisin, je ne crois pas qu'il y ait de recette miracle...
En l'occurrence ici, je ferais :
[tex]\frac a b =\frac{153}{189}=\frac{17}{21}[/tex]
La fraction est maintenant irréductible et on prend a=17*15 et b=21*15..

Je pars du mot PGCD et je reviens aux sources : [tex]PGCD(a,b)=15 \Leftrightarrow PGCD(a/15,b/15)= 1[/tex]
Les 2 nombres a/15 et b/15 sont premiers entre eux.

Et l'expression "premiers entre eux", dans mon esprit me renvoie en écho "fraction irréductible" : on dit qu'une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Justement ça tombe bien, on me parle fraction(s), a et b sont tels que :
[tex]\frac a b =\frac{153}{189}[/tex]
Une autre question me vient alors à l'esprit :
comment s'écrivent toutes les fractions égales à [tex]\frac{153}{189}[/tex] ?
n, étant un entier naturel non nul, réponse : [tex]\frac{153n}{189n}[/tex] ???
Non, parce qu'il en manque...
Et pourquoi ? Mais parce que [tex]\frac{153}{189}[/tex] n'est pas irréductible : [tex]PGCD(153,189) = 9[/tex]
Ce qui prouve au passage que la réponse attendue à l'exercice n'appartient pas à l'ensemble des fractions du type [tex]\frac{153n}{189n}[/tex].
La suite coule de source :
[tex]\frac{153}{189}=\frac{17}{21}[/tex]
Donc, n étant un entier naturel non nul, la fraction [tex]\frac a b[/tex] appartient bien cette fois à l'ensemble des fractions du type [tex]\frac{17n}{21n}[/tex]
Le PGCD de 17 et 21 étant 1, il doit être "évident" que pour obtenir un PGCD de 15, il faut écrire a= 17*15 et b=21*15...

Je m'étais par la suite demandé s'il y avait un autre moyen - que je n'avais pas vu - d'où le : "Attends un autre avis".

Mais cette méthode ne serait peut-être pas applicable à un exercice voisin ; sauf production d'un squelette d'exercice qu'on habillerait de chiffres différents à chaque fois, deux exercices de PGCD ne sont pas forcément résolvables à l'identique.
Et pourtant, ils se résoudraient en utilisant - différemment - les mêmes ingrédients de bases : c'est cela qu'il faut arriver à "sentir"...
Sinon : " Science sans conscience n'est que ruine de l'âme." a dit Rabelais...

@+

marioss

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Re : dm arithméthiques

Yoshi vraiment agréable !!!

merci