Forum de mathématiques - Bibm@th.net

loladu123

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fonction

Bonjour, j'ai un probleme à résoudre mais je ne sais même pas par quoi commencer, pouvez vous m'aidez s'il vous plait :
un pilote de Karting roule à toutes vitesse sur une piste dont le tracé peut être modélisé dans un repère par la courbe (Cf) de la fonction : f(x)=(x(au cube)/30)+(x²/6)-(11x/5)
Soudain, la direction de son kart se brise et il sort de la piste en suivant une trajectoire rectiligne correspondant à la tangente à (Cf).
A quel endroit a t-il quitté la piste sachant que son kart s'est écrasé contre l'arbre situé au point A(11;17) ?

totomm

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Re : fonction

Bonjour,

Il faut d'abord secourir blessé ou....pire !
la courbe est vraiment [tex]f(x)=\frac{x^3}{30}  +\frac{x^2}{6} -\frac{11x}{5}[/tex] ?

Une idée de comment on trouve la pente de la tangente en un point d’abscisse x à la courbe f(x) ?
Il faut au moins savoir cela ! :-))

Misterious

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Re : fonction

En calculant la dérivée ? Je bloque sur le même problème ><' ( DM de math... )

totomm

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Re : fonction

Bonsoir,

Ne vous laissez pas impressionner par une courbe de degré 3.
Factorisez, factorisez , les points sur l'axe des abscisses sont ...simples

puis dérivez  (depuis la formule telle qu'elle vous est donnée) et regardez la valeur du nombre dérivé au point évident sur l'axe des abscisses où le kart a pris la tangente
(supposez le kart parti du point (0;0) vers la partie d'abscisses positives de la courbe...)

A+  :-))

Misterious

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Re : fonction

Les coordonnées sont (6;0), non ? Mais pas facile d'y arriver :x

Misterious

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Re : fonction

Bonsoir, j'ai essayé de trouver une méthode, mais je n'y arrive toujours pas.

En factorisant on peut obtenir x/30*(x²+5x-66) et la dérivée est x²/10+x/3-11/5 mais je ne sais pas quoi en faire...

totomm

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Re : fonction

Bonsoir,

Bonsoir, j'ai essayé de trouver une méthode, mais je n'y arrive toujours pas.

En factorisant on peut obtenir x/30*(x²+5x-66) et la dérivée est x²/10+x/3-11/5 mais je ne sais pas quoi en faire...

Je balance entre "ignorance du cours" par paresse et/ou mauvaise volonté, peut-être parce qu'il est sans doute moins fatigant de laisser un autre rédiger son problème.
Par gentillesse et pour ne pas vous laisser tomber, voici un résultat que je vous engage à méditer :

Il faut factoriser entièrement : [tex]f(x)=\frac{x^3}{30}  +\frac{x^2}{6} -\frac{11x}{5}= \frac{x (x²+5x-66) }{30} = \frac{x (x-6) (x+11)}{30}  [/tex]
et la dérivée est [tex]f\ '(x)= \frac{x^2}{10}+  \frac{x}{3} -\frac{11}{5}[/tex]

Alors le point K=(6 ; 0) apparaît et la pente de la tangente en ce point est [tex]m=\frac{36}{10}+  \frac{6}{3} -\frac{11}{5}= \frac{108+60-66}{30} = \frac{102}{30}= \frac{17}{5}[/tex]

L'équation de la droite tangente au point K est : [tex]y = \frac{17}{5}(x-6)[/tex] qui passe par le point A=(11,17)
Le point K est bien le point où le kart a quitté la piste.

Misterious

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Re : fonction

Merci beaucoup, j'étais vraiment bloqué. Il n'y avait là ni paresse, ni mauvaise volonté... C'est juste que l'idée ne m'était pas venue. Merci beaucoup encore.

Je me pose une dernière question... Pourquoi doit on choisir un des points qui apparaît dans la factorisation ? Ce sont les points d'ordonnées O, pas forcément ceux pour lesquels le Kart aurait pu quitter la piste

totomm

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Re : fonction

Bonjour,

Je me pose une dernière question... Pourquoi doit on choisir un des points qui apparaît dans la factorisation ? Ce sont les points d'ordonnées O, pas forcément ceux pour lesquels le Kart aurait pu quitter la piste

Il y a 3 tangentes à la courbe de degré 3 qui passent par le point A.
On peut paramétrer les abscisses des points de contact et l'on se trouve avec une équation aussi du 3ème degré pas si évidente à traiter.
En la factorisant on a un facteur qui donne directement x=6, les 2 autres abscisses sont accessibles mais sans intérêt pour le problème.

Je ne pense pas que l'on vous ait donné ce problème pour vous perdre dans la recherche des 3 tangentes et la résolution d'équations du 3ème degré !
Et le kart ne vient pas de [tex]-\infty[/tex], il est vraisemblablement parti du point (0 ; 0) vers le point (6 ; 0)  :-))
Ce qui m'a conduit à rédiger d'abord ce que je vous ai proposé comme solution.

loladu123

Invité

Re : fonction

bonjour, merci beaucoup pour toutes vos réponses. Mais je ne comprend pas comment on trouve x=6 sans faire aucun calcul...

totomm

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Re : fonction

Bonsoir,

Si on ne veut pas se lancer à la devinette, on fait le graphique de la fonction et on place le point A (11;17)
Il y a un excellent logiciel gratuit GEOGEBRA qui fait très bien l'affaire.
Sur ce graphique on voit que le point (6;0) va convenir

Si on est plus courageux (ou compétent) on établit l'équation des abscisses des points de contacts des trois tangentes issues de A.
C'est    [tex]x^3-14x^2-55x+618=0 [/tex]
   
Quelle méthode vous convient ?

Dernière modification par totomm (06-05-2014 19:51:41)