Forum de mathématiques - Bibm@th.net

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Probabilités de tirages avec remise

Salut,

Je suis engagé dans la programmation avec zeoioui, une chose me turlupine...
Supposons que dans une urnes soient disposées 37 boules numérotées de 0 à 36, indiscernables au toucher.
Je pioche avec remise, une boule après l'autre, je note les nos sortis.
Je réitère l'opération jusqu'à ce que j'aie vu sortir 34 nos différents et supposons que le 34e no soit sorti au 100e tirage...
Ma question est la suivante :
quelle est la probabilité pour qu'un des 3 manquants sorte le coup suivant ? au 2e coup suivant ? au 3e coup suivant ? au n ième coup suivant (n<=50).
(Si je tire avec remise 100 fois une boule parmi 37, j'ai bien 37¹⁰⁰ tirages possibles ?)

Cela changerait-il les probabilités s'il fallait faire 120 tirages (par ex) pour voir passer 34 nos différents ?

@+

totomm

Membre

Inscription : 25-08-2011

Messages : 1 093

Re : Probabilités de tirages avec remise

Bonjour,

quelle est la probabilité pour qu'un des 3 manquants sorte le coup suivant ? : [tex]\frac{3}{37}[/tex]
au 2e coup suivant ? :[tex]\frac{34}{37} \times \frac{3}{37}[/tex]
au 3e coup suivant ? :([tex]\frac{34}{37})^2 \times \frac{3}{37}[/tex]
...
au n ième coup suivant : [tex](\frac{34}{37})^{n-1} \times \frac{3}{37}[/tex] On suppose que l'on s’arrête dès qu'une des 3 manquantes sort.

Les probabilités pour les tirages à venir sont indépendantes de ce qui est déjà sorti (34 boules différentes), puisque c'est avec remise.

Dernière modification par totomm (24-04-2014 14:56:18)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Probabilités de tirages avec remise

Salut,

la réponse de totomn est la proba condtionnelle d'avoir un des trois autres sachant que j'en ai eu 34 différents sur les 100 premiers tirages. Une sorte de tirage sans mémoire ...

Je pense (mais je peux me tromper) que yoshi veut déterminer la probabilité de l'événement : 34 différents en 100 tirages + un des trois manquants au 101^ème ou 102^ème ... tirage.

D'où la réponse à la seconde question : pour la probabilité conditionnelle après 120 tirages, comme totomn ; sinon, oui, la probabilité de 34 différents en 120 tirages puis un des 3 manquants au 121^ème tirage est bien différente de la précédente, avec 100 tirages seulement.

Est que ça répond à ta question, l'ami ?

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : Probabilités de tirages avec remise

Salut,

Merci.

Oui et non.
Je formule ça autrement :
j'ai tiré 34 n°s différents sur 100 boules.
Quelle est la probabilité pour qu'un n° manquant ne sorte pas au coup suivant ?
Donc [tex]\frac{34}{37}[/tex] proba de non sortie au 101e coup...
Quelle  est la probabilité pour qu'un des 3 manquants ne sorte pas dans les n coups à venir ?
Donc si j'ai compris [tex]\left(\frac{34}{37}\right)^n[/tex]

Si aucun des 3 n° absent des 100 premiers tirages n'est sorti du 101 au 149e, au 150e tirage,  en attente du 150e, la probabilité qu'un deux sorte au 150e coup est toujours la même...
Mais si les tirages ne sont pas faits au delà du 100e, avant de procéder au 101e, puis-je parier,  et avec quelles chances de succès, qu'un des  3 retardataires va sortir d'ici le 150e tirage ? (Ça me rappelle la partie de Pile ou Face de Pascal - ? - interrompue avant la fin avec répartition des sommes).
C'est un jeu de roulette (probablement test de martingale).
Moi, je ne mets pas les pieds  - en italien dans le texte au casinò (ni au casino d'ailleurs : distinguo dédié à tous ceux qui s'assoient sur l'orthographe)...

@+

(Ouh, que ça m'agace de ne pas avoir réussi à résoudre ce type de problèmes depuis le temp. Je fais un blocage, mais pourquoi ?)

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Probabilités de tirages avec remise

Re,

Compris ! Alors, première règle : si tu veux gagner au casino, achètes-en un !

Ensuite, les tirages étant indépendants et avec remise, à chaque fois, c'est la même proba de perdre (presque sûrement) ou de gagner.

Donc on a joué 100 fois et 34 numéros distincts sont sortis. On cherche la probabilité qu'au moins un des 3 numéros manquants sortent au plus tard au 150^ème tirage, après les 100 premiers.
C'est très exactement égal au complémentaire à l'unité de la probabilité qu'aucun des trois n'apparaisse sur les 50 prochains tirages, donc [tex]1-\left(\frac{34}{37}\right)^{50} = 0,9854 [/tex] ...

Dernière modification par freddy (24-04-2014 17:57:39)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 404

Re : Probabilités de tirages avec remise

Salut compadre,

Merci...
C''est là qu'on voit la différence entre le hasard pur, et le hasard made in logiciel...
Je vais vérifier s'il existe pour Python des modules de création de nombres tirés aléatoirement autre que le modèle de base...
Je ne suis pas vraiment satisfait de ce que je vois.

Il faut absolument que je franchisse l'obstacle des probas : je raisonne (trop) souvent à côté...

@+

totomm

Membre

Inscription : 25-08-2011

Messages : 1 093

Re : Probabilités de tirages avec remise

Bonjour,

Une idée : L' obstacle, dans ces tirages, vient du fait que :
- si un des trois sort : on arrête les tirages
- si un des trois ne sort pas on continue les tirages
donc si l'on cherche une probabilité qui couvre du 101è au 150è tirage, il faut se ramener seulement aux cas où un des trois ne sort pas.

modules de création de nombres tirés aléatoirement autre que le modèle de base : J'utilise des suites que j'extrais des décimales (ou du binaire) de [tex]\pi[/tex] en variant, entre essais, la façon (non aléatoire) de constituer ces suites...avec un million de décimales on a vraiment le meilleur hasard possible !
Sinon, la meilleure littérature : "the art of computer programming" volume 1. (je ne sais pas s'il a été traduit).

zou

Invité

Re : Probabilités de tirages avec remise

Bonjour à tous,
Je poursuis la discussion :
Pour calculer la probabilité que 3 nos sur 37 restent absents x fois, faut rechercher la proba. contraire, c'est à dire que si 3 nos sont absents, c'est que 34 nos se sont répétés x fois.
Pour 100 nos par exemple, la proba. pour que 3 nos ne sortent pas, c'est 34/37) à la puissance 100. et la proba. de voir sortir l'un des 3 nos absents ( ou tous les trois, je ne sais pas ) est 1 - 34/37 puissance 100.
Ceci dit, je voulais construire un programme pour illustrer et vérifier expérimentalement ces proba. en question, et j'ai raisonné ainsi :
3 nos absents, c'est 34/37 et 34/37 = 1/1,088 ( j'ai réduit la fraction 34/37 ).
Donc 34 nos qui se répètent 100 fois, c'est 1/1,088 à la puissance 100 soit 1/4701,97  et j'en déduis qu'il me faut 4701,97 * 100 soit 470197 nos pour rencontrer une absence de 3 nos au sein d'une suite de 100 nos.
470197 nos ( 470200 pour arrondir ), c'est 4702 tirages de 100 nos, et je me dis que c'est en lançant 4702 expériences de tirages de 100 nos qu'on devrait rencontrer une absence de 3 nos au sein d'une série de 100 nos.
Est ce que je raisonne juste jusque là ? Si oui ( selon vos remarques ) je continuerai à développer l'idée et mon raisonnement.
Zéoioui.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : Probabilités de tirages avec remise

Salut,

dans mon calcul, il y a un point très important à faire remarquer : j'ai calculé la probabilité qu'au moins un des 3 numéros manquant apparaisse au moins une fois dans les 50 prochains tirages.

Ce qui veut dire que les 3 numéros manquant peuvent sortir plus d'une fois au cours des 50 prochains tirages, et j'effectue sans m’arrêter 50 tirages exactement. La probabilité calculée permet de soutenir qu'aucun des trois ne sortira durant les 50 prochains tirages avec un probabilité égale à 1,4683 %.

Dans le schéma de totomn, c'est que qu'on appelle un processus stochastique, beaucoup plus velu à manipuler !

Dernière modification par freddy (27-04-2014 15:00:18)