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bongrand

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Produit scalaire démonstration

bonjour à tous,

je suis face à un exercice qui me pose beaucoup de problèmes.... je pense ne pas comprendre les questions posées. Car dès la première question je ne sais pas par quoi commencé...

Merci d'avance.

Énoncé:
Soit (vecteur)U et (vecteur) V deux vecteurs non nuls colinéaires. Il existe donc un réel k, non nul tel que (vecteur) V=kU(vecteur).

1) Démontrer que (vecteur) U. V (vecteur) = k ||U||^2 (vecteur).

2)Exprimer ||V|| (vecteur) en fonction de ||U|| (vecteur)

3) Démontrer que si K> 0, (vecteur) U. V (vecteur) = ||V|| (vecteur) x ||U|| (vecteur)
et que, si k<0,  (vecteur) U. V (vecteur)=||V|| (vecteur) x ||U|| (vecteur)

Dernière modification par yoshi (05-04-2014 14:23:20)

yoshi

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Re : Produit scalaire démonstration

Bonjour,

Tu sais que [tex]\overrightarrow V =k.\overrightarrow U[/tex]
Pour la première question, dans [tex]\overrightarrow U.\overrightarrow V[/tex], il ne t'est pas venu à l'esprit de substituer [tex]k.\overrightarrow U[/tex] à [tex]\overrightarrow V[/tex] ???

Q2
Tu as maintenant établi que [tex]\overrightarrow U.\overrightarrow V= k.||\overrightarrow U||^2[/tex]
Tu peux donc montrer que [tex]\overrightarrow U.\overrightarrow V= \frac1 k.||\overrightarrow V||^2[/tex]
D'où l'égalité [tex]\frac 1 k.||\overrightarrow V||^2 = k.||\overrightarrow U||^2[/tex]
Tu  isoles [tex]||\overrightarrow V||^2[/tex] en multipliant les 2 membres par k...
Il ne te reste plus qu'à passer de [tex]||\overrightarrow V||^2[/tex]  à  [tex]||\overrightarrow V||[/tex].
Quant au problème éventuel de signe, n'oublie pas qu'une norme de vecteurs est toujours positive (longueur)...

Q3

si k<0,  (vecteur) U. V (vecteur)=||V|| (vecteur) x ||U|| (vecteur)

Ça, c'est faux ! Tu as oublié le -

Je note [tex]\alpha[/tex] l'angle des vecteurs [tex]\overrightarrow U[/tex] et [tex]\overrightarrow V[/tex] : [tex]\alpha =(\overrightarrow U,\overrightarrow V)[/tex]
J'ai donc [tex]\overrightarrow U.\overrightarrow V =||\overrightarrow U||\times||\overrightarrow V||\times\cos \alpha[/tex]
Si k > 0, les deux vecteurs sont de même sens donc [tex]\alpha =0[/tex]... Conclusion ?
Si k < 0 , les deux vecteurs sont de sens opposés donc [tex]\alpha =\pi[/tex]... Conclusion ?

@+