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imedomda

Invité

puissance et modulo

bonjour,

ma fille en terminale me pose cette colle... de l'aide s'il vous plait
Soit l’équation (E) dans [tex]\mathbb{Z}[/tex] :
[tex] x^7 \equiv 2\; (mod\;13)[/tex]
Montrer que si x est solution alors
[tex]x\equiv 2^7\,(mod\;13)[/tex] puis résoudre (E)

yoshi

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Re : puissance et modulo

Salut,

J'ai fini par avoir une autre idée... Je dis "une autre", parce que j'en avais déjà eu une hier soir, avant de m'apercevoir qu'elle me ramenait à mon point de départ...
Donc, voilà
[tex]x^7 \equiv 2\;(13)[/tex]  or   [tex]\left(x^7\right)^7\equiv x \;(13)[/tex]
donc
[tex] x^7 \equiv 2\;(13) \Leftrightarrow  \left(x^7\right)^7\equiv 2^7\;(13)  \Leftrightarrow x\equiv 2^7\;(13)[/tex]

Ca n'est qu'une intuition : tout repose sur ce qui suit le "or"...
Et il va falloir le démontrer...

@+

imedomda

Invité

Re : puissance et modulo

Merci Yoshi.... Toujours prêt à aider. I appreciate...

Yoshi a dit: "tout repose sur ce qui suit le "or"... Et il va falloir le démontrer....

Je crois que j'ai ce qui te faut:

Petit Fermat:  x⁴⁹=x mod(13)
parceque x⁵²=x⁴ mod(13)
parceque x¹³=x mod(13)

yoshi

Modo Ferox

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Re : puissance et modulo

RE,

Bon, voilà un point de réglé alors...
Ce que j'avais écrit (puis supprimé hier soir), va peut-être quand même servir, qui sait... même si je vois pas encore ou intervient le [tex]x\equiv 2^7\;(13) :[/tex]

Bonsoir,

Il y a sûrement une meilleure méthode, qu'on va te donner, mais je réfléchis mal le soir...
Supposons [tex]x \in [1\;;\; 12][/tex]
[tex]x^7[/tex] est respectivement égal modulo 13 à  1, 11, 3, 4, 8, 7, 6, 5, 9, 10, 2, 12
Donc [tex]x = 13k-2[/tex] avec [tex]k \in \mathbb{Z}[/tex]
Reste à le prouver..
[tex](13k-2)^7 = 13^7k^7-\binom{7}{1}\times 2^1k^6+\binom{7}{2}\times 2^2k^5-\cdots -2^7[/tex]
Soit encore :
[tex](13k-2)^7 = 13k'-2^7[/tex] avec [tex]k' =13^6-\binom{7}{1}\times 2/13+\binom{7}{2}\times 2^2/13-\cdots+2^6)[/tex]
Les 6 premiers coefficients binomiaux sont multiples de 13.
Donc [tex] x^7 = 13k'-2^7 = -2^7 = 2 (13)[/tex]

Je ne choisis pas x = 13k+2 puisqu'en appliquant la même méthode, je tombe alors sur  [tex]x = 2^7 = 11 (13)[/tex]
Ce qui ne colle pas...

@+

[EDIT] Erratum
Je me suis sérieusement mélangé les crayons avec mes coefficients binomiaux...
Ce doit être quelque chose comme :
[tex](13k-2)^7 = 13^7k^7-13^6\times 2^1 \times\binom{7}{1}\times k^6+13^5\times 2^2\times \binom{7}{2}\times k^5-\cdots -2^7[/tex]
Et ce ne sont pas les coefficients binomiaux qui sont multiples de 13 mais tous les coefficients successifs de k...

Dernière modification par yoshi (30-03-2014 18:18:56)