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#1 27-02-2014 10:54:05
- samo12
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inégalité
Salut,
Est-ce que on a [tex]||\frac{\partial u^r}{\partial r}||_{L^{\infty}}\leq ||\nabla u||_{L^{\infty}}[/tex]? avec [tex]u=(u^r,u^{\theta},u^z)[/tex] merci de m'aider.
Dernière modification par samo12 (27-02-2014 14:27:32)
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#3 27-02-2014 21:51:36
- samo12
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Re : inégalité
Re,
Moi j'aimerais montrer que [tex]||\Omega ^r\partial_r u^r+\Omega^z\partial_z u^r||_{L^{\infty}}\leq (||\Omega^r||_{L^{\infty}}+||\Omega ^z||_{L^{\infty}})||\nabla u||_{L^{\infty}}[/tex] donc je pensais à montrer que [tex]||\partial_r u^r||_{L^{\infty}}\leq ||\nabla u||_{L^{\infty}}[/tex] et de même pour [tex]||\partial_z u^r||_{L^{\infty}}\leq ||\nabla u||_{L^{\infty}}[/tex] et comme ça j'obtiens le résultat. merci d'avance
Dernière modification par samo12 (27-02-2014 21:53:58)
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#4 28-02-2014 18:03:48
- samo12
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Re : inégalité
Re,
[tex]u_r=<u,e_r>[/tex] donc [tex]\partial _r u_r=<\partial_r u,e_r>[/tex] on aplique Cauchy Scwartz on obtient [tex]|\partial _r u_r|\leq ||\partial_r u||_{R^3}||e_r||_{R^3}\leq ||\partial_r u||_{R^3}[/tex] et on applique le sup de deux côtés [tex]||\partial_r u_r||_{L^{\infty}}\leq ||\partial_r u||_{L^{\infty}}[/tex] de même pour [tex]||\partial _r u||_{L^{\infty}}\leq ||\nabla u||_{L^{\infty}}[/tex] car [tex] \partial _r u=<\nabla u,e_r>[/tex] c'est ça ?
Dernière modification par samo12 (28-02-2014 18:17:48)
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#5 28-02-2014 20:43:10
- Dico
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Re : inégalité
[tex]||\partial_ru||_{\mathbb R^3}[/tex] peut être considéré comme une application de [tex]\mathbb R^3[/tex] vers [tex]\mathbb R_+[/tex].
Lorsque tu applique le sup des deux côtés, tu ne peux retirer la norme de [tex]\mathbb R^3[/tex].
Bon après-midi!
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#7 02-03-2014 13:21:03
- Dico
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Re : inégalité
Il aurait fallu avoir aussi la dérivée par rapport à theta et là on écrirait:
[tex]||\Omega^r\partial_ru^r+\Omega^\theta\partial_\theta u^r+\Omega^z\partial_zu^r||_{\mathbb R^3}\leq\left(||\Omega^r||_{L^\infty}+||\Omega^\theta||_{L^\infty}+||\Omega^z||_{L^\infty}\right)||\nabla u||_{\mathbb R^3}[/tex].
Après on passe le sup. On y arrive également si [tex]u^r[/tex] ne dépend pas de theta.
Bon après-midi!
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#9 02-03-2014 15:24:47
- Dico
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Re : inégalité
Je vous résume.
[tex]\nabla u=(\partial_ru^r+\partial_\theta u^r+\partial_zu^r, \partial_ru^\theta+\partial_\theta u^\theta+\partial_zu^\theta, \partial_ru^z+\partial_\theta u^z+\partial_zu^z).[/tex]
D'où, [tex]||\nabla u||_{\mathbb R^3}^2=(\partial_ru^r+\partial_\theta u^r+\partial_zu^r)^2+(\partial_ru^\theta+\partial_\theta u^\theta+\partial_zu^\theta)^2+(\partial_ru^z+\partial_\theta u^z+\partial_zu^z)^2.[/tex]
Ce que je fais(il fallait en fait prendre plutôt la valeur absolue à gauche).
[tex]\left|\Omega^r\partial_ru^r+\Omega^\theta\partial_\theta u^r+\Omega^z\partial_zu^r\right|\leq\left(||\Omega^r||_{L^\infty}+||\Omega^\theta||_{L^\infty}+||\Omega^z||_{L^\infty}\right)\left|\partial_ru^r+\partial_\theta u^r+\partial_zu^r\right|.[/tex]
Bon après-midi!
Dernière modification par Dico (02-03-2014 15:32:07)
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#10 02-03-2014 18:45:03
- samo12
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Re : inégalité
Bonsoir,
Le [tex]\nabla u= \partial_r u\ e_r+\frac{1}{r} \partial_{\theta} u\ e_{\theta}+\partial_z u\ e_z[/tex] oui j'ai que [tex]u_r[/tex] ne dépend pas de theta. Et j'ai une autre chose dans le même contexte
[tex]||\Omega^r \partial_r u^z)+(\Omega^z-\frac{k}{r}\Omega^{\theta})\partial_z u^z||_{L^{\infty}}\leq (||\Omega^r||_{L^{\infty}}+||\Omega^z-\frac{k}{z}\Omega^{\theta}||_{L^{\infty}})||\nabla u||_{L^{\infty}}[/tex] est ce que ça est vrai que si [tex]u^z [/tex] ne dépend pas de theta?
Dernière modification par samo12 (02-03-2014 19:01:33)
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#12 04-03-2014 16:48:32
- Dico
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Re : inégalité
C'est en fait une condition suffisante!
Si je te résume(j'aime résumer)
[tex]\nabla u=\begin{pmatrix} \partial_ru^r & 1/r\partial_\theta u^r & \partial_zu^r \\ \partial_ru^\theta & 1/r\partial_\theta u^\theta & \partial_zu^\theta \\ \partial_ru^z & 1/r\partial_\theta u^z & \partial_zu^z \end{pmatrix}[/tex]
[tex]||\nabla u||_{L^\infty}=max\left\{|\partial_ru^r| + 1/r|\partial_\theta u^r| + |\partial_zu^r|, \;|\partial_ru^\theta| + 1/r|\partial_\theta u^\theta| + |\partial_zu^\theta|,\; |\partial_ru^z| + 1/r|\partial_\theta u^z| + |\partial_zu^z|\right\}[/tex]
@+
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