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CIRDECO

Invité

Loi binomiale - loi normale

Bonjour,
J'aurais besoin d'une formulation très simple (sans faire appel à différents modes de convergence, niveau Terminale S au maximum) pour expliquer le passage du caractère discret de la loi binomiale au caractère continu de la loi normale.
La formulation suivante est-elle correcte :

Le diagramme en bâtons d'une loi binomiale de paramètres n et p lorsque n est très grand et que p n'est pas voisin de 0 et de 1, peut être approché par une courbe en cloche, courbe en cloche qui est celle d'une fonction appelée densité de probabilité et qui définit une nouvelle loi de probabilité appelée loi normale.

Merci de rectifier toute inexactitude ou de rajouter des compléments indispensables éventuels.
Bien cordialement,
C.
PS : la loi normale est une approximation de la loi binomiale ou la loi binomiale est-elle une approximation de la loi normale ?

freddy

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Re : Loi binomiale - loi normale

Salut,

que fais tu dans la vie ? Tu enseignes ou tu te prépares à enseigner ?

Sinon, la loi binomiale est la répétition de l'experience élémentaire de Bernoulli ; la loi normale est une loi continue assez sympa dans bien des cas, même si ce n'est pas une panacée.

C'est la loi binomiale qui converge ver la loi normale, et pas l'inverse. Pour passer de la loi binomiale à la loi normale, il faut faire une correction de continuité (pour passer du caractère discrèt au caractère continu dans le calcul de la proba d'un intervalle).

C'est l'histogramme de la binomiale qui tend à prendre la forme de celui de la loi normale et en reliant les centres au sommet, ou "trouve" la loi normale. IL n'est pas nécessaire que n soit très grand, par contre il y a une condition sur l'espérance np qui doit être supérieur à 5 (à vérifier). Pourle paramètre p, en effet, il doit être encadré.

As tu vu ce point convegence des lois ?. Tu trouveras une simulations sous java intéressante.

A l'avenir, pense d'abord à consulter la Bibm@th, ensuite, bien sûr, tu peux poser toutes les questions que tu veux.

A te lire !

CIRDECO

Invité

Re : Loi binomiale - loi normale

Bonjour,
Merci pour vos précisions.
Mais quelle proposition concrète feriez-vous si vous vous adressiez à des élèves de cycle Terminale STMG (qui n'ont pas l'étude des limites (ou de la fonction exponentielle) au programme) et que le programme recommande d'introduire la loi normale par l'observation, à l'aide d'un logiciel, de la loi binomiale?
Merci,
C.

freddy

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Re : Loi binomiale - loi normale

Re,

le meilleur exemple est précisement le triangle qui simule la marche aléatoire d'une pièce de monnaie qu'on lance 10, 15 ou 20 fois.

On compte le nombre de Face par exemple. Avec une proba p comprise entre 10 et 90 %, tu fais répeter n fois le jeu de telle sorte que np > 5.

AU bout de 20 lancers par exemple, on peut avoir de 0 à 20 Faces.  En jouant plusieurs fois "20 fois", on note combien de fois on a obtenu 0, 1, ... 19 et 20 Faces et on fait l'histogramme de la distribution.

On voit apparaître la fameuse courbe en cloche propre à la loi normale. Et c'est de cette manière qu'on peut montrer comment la loi normale est bien le comportement "à la limite" de nombreux de phénoméne aléatoire à l'origine binaire (c'est à dire ayan une réponse du genre "oui", "non", ou bien "blanc" "noir", ou bien "gagné", "perdu"  avec une probabilité p comprise entre 10 et 90 % ...) que l'on répète plusieurs fois.

Va voir sur wikipédia la réponse à "convergence binomiale vers normale". Tu as aussi un joli graphique. Tu peux en trouver d'autres en cherchant des articles simples et pédagogiques.

S'ils aiment jour au tennis, tu peux de cette manière simuler le résultat d'une partie dont un des jours gagne le jeu avec une probabilité p, qu'il ait ou non le service.

Question : au bout de 50 jeux, comment se répartissent les points ?  Là encore, tu montres comment se dessine une distribution normale (0 jeu gagné, 1 jeu, 2 jeux, ...).

CIRDECO

Invité

Re : Loi binomiale - loi normale

Merci beaucoup pour la grande clarté de la dernière réponse !
Cordialement,
C.