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Nina

Invité

Devoir de mathématiques

Bonjour à tous voici un exercice dans lequel j'ai du mal à faire ( je ne suis pas très bonne en math): On considère un triangle IJK ; on note A le symétrique de K par rapport à J, B le symétrique de I par rapport à K, et C le symétrique de J par rapport à I.
1) à) exprimer (vecteur)AK en fonction de (vecteur) AB et de vecteur AI
b) exprimer (vecteur)AI en fonction de (vecteur) AJ et (vecteur)AC
c) exprimer enfin (vecteur)AJ en fonction de (vecteur)AK
d) déduire de tout cela que (vecteur)AK=2/7(2vecteurAB+vecteurAC)
2) soit P le point défini par vecteur BP=1/3 vecteurBC. Exprimer vecteur AP en fonction de vecteur AB et de vecteur AC
3) en déduire de 1. et 2. que A,K,J et P sont alignés
Pouvez vous m'aider s'il vous plaît.

yoshi

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Re : Devoir de mathématiques

Bonjour,

Tout d'abord, puisque tu es fâchée avec les vecteurs, revenons en 4e/3e, c'est là que tout commence.
Le vecteur t'y a été présenté comme un "objet" mathématique qui permet de définir un déplacement (déplacement rectiligne) avec par exemple pour un vecteur [tex]\overrightarrow{AB}[/tex], ce vecteur a
- une direction, en gros l'inclinaison de la droite (AB) le long de laquelle se fait le déplacement,
- un sens, celui du déplacement sur la droite de A vers B (de B vers vers A, c'est le sens du vecteur [tex]\overrightarrow{BA}[/tex]
- une longueur,  la longueur AB.

Deux vecteurs sont égaux s'ils ont :
- même direction (les droites qui les portent sont parallèles)
- même sens
- même longueur.

Les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BA}[/tex] ont des sens opposés : ils ne sont donc pas égaux mais opposés.  On note : [tex]\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}[/tex]
Alors que vaut la somme [tex]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}[/tex] ? C'est le vecteur nul [tex]\vec 0[/tex]...
Pour bien comprendre, revenons aux déplacements  : aller de A à B puis de B à A   a pour résultat final un déplacement nul : celui qui te fait aller finalement de A à .... A !

Mais alors, qu'est-ce donc que la relation la relation de Chasles ?
Elle dit simplement qu'étant donnés 3 points quelconques A, B et C du plan (ou de l'espace) :
- Pour aller de A à B, tu peux passer par C, soit partir de A arriver à C, puis repartir de C et arriver à B, ce qui se note : [tex]\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}= \overrightarrow{AB} [/tex]
- Pour aller de A à C, tu peux passer par B (= partir de A pour arriver à B), puis repartir de B et arriver à C, ce qui se note : [tex]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC} [/tex]
- Pour aller de B à C, tu peux passer par A, soit partir de B arriver à A, puis repartir de A et arriver à C, ce qui se note : [tex]\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}= \overrightarrow{BC} [/tex]
...etc.

Rien n'interdit d'utiliser un point D supplémentaire :
[tex]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+ \overrightarrow{DC}= \overrightarrow{AC} [/tex]
Ce qui important de ne pas oublier dans la relation de Chasles, c'est que l'extrémité d'un vecteur doit impérativement être l'origine de l'autre : regarde bien les exemples ci-dessus.
Évidemment on peut multiplier les vecteurs par des nombres : [tex]2\overrightarrow{AB}[/tex] par exemple.
Sans surprise, [tex] 2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}[/tex]

Si je reprends l'exemple donné plus haut : [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}[/tex], je peux écrire
[tex]2\overrightarrow{AB}=2(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})= 2\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CB}[/tex].
Rien de bien neuf : on développe... Et oui, c'est possible...
On peut de même factoriser...

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Venons-en à ton problème.
Nina, si je fais le problème à ta place, au problème suivant, tu te retrouveras tout aussi ennuyée, d'accord ?
Alors, je vais t'aider à aller au bout.
Cela passera par des échanges...

Donc
Question 1.
a) Exprimer [tex]\overrightarrow{AK}[/tex] en fonction de   [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et de  [tex]\overrightarrow{AI}[/tex]
    Je regarde d'abord mon dessin que j'ai codé.
    Et je vois le vecteur  [tex]\overrightarrow{AI}[/tex] et le vecteur [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] qui sont de part et d'autre du vecteur [tex]\overrightarrow{AK}[/tex].
    Et je me dis : qu'est-ce que je sais sur le point K ?
    Réponse : il est tel que B est le symétrique de I par rapport à K.
    Donc question que je te pose :
    Que représente K pour le segment [IB] ?
    Quelle est ta réponse ?

    Alors dans ton cours, tu as dû voir ce schéma
   
    Avec ce résultat : [tex]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}[/tex]
    qu'on peut encore écrire : [tex]\overrightarrow{AM} = \frac 1 2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac 1 2\overrightarrow{AB}+\frac 1 2\overrightarrow{AC}[/tex]
   
    Donc nouvelle question pour toi :
     Quelle égalité vectorielle es-tu capable d'écrire en utilisant le vecteur [tex]\overrightarrow{AK}[/tex] d'une part et les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et  [tex]\overrightarrow{AI}[/tex] d'autre part ?
    Complète la réponse :
    [tex]\overrightarrow{AK}=\frac 1 2(\cdots+\cdots)=\frac 1 2\cdots+\frac 1 2\cdots[/tex]  (1)

b) Exprimer [tex]\overrightarrow{AI}[/tex] en fonction de [tex]\overrightarrow{AJ}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AC}[/tex]
    Là c'est la même idée, puisque I est, lui, le milieu du segment [CJ]...
    Complète la réponse :
    [tex]\overrightarrow{AI}=\frac 1 2(\cdots+\cdots)=\frac 1 2\cdots+\frac 1 2\cdots[/tex]   (2)

c) Exprimer enfin [tex]\overrightarrow{AJ}[/tex] en fonction de [tex]\overrightarrow{AK}[/tex]
    Que représente J pour le segment [AK] ?
    Compare la longueur alors AJ avec la longueur AK et enfin le vecteur [tex]\overrightarrow{AJ}[/tex] avec le vecteur  [tex]\overrightarrow{AK}[/tex]...
     [tex]\overrightarrow{AJ}= \cdots \overrightarrow{AK}[/tex]   (3)

Il faut déjà que tu écrives ces égalités correctement.
Donc réponds d'abord à mes questions, poses-en d'autres si nécessaire, puis on se penchera sur la question d) qui demande pas mal de calculs...

Courage !

@+

yoshi

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Re : Devoir de mathématiques

Hello Nina,

Plus intéressée ?
Tu as réussi à te débrouiller seule ?

@+

yoshi

Modo Ferox

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Re : Devoir de mathématiques

Bonjour,

Cette absence de réponse (j'menfoutisme, découragement, ingratitude ?) est toujours aussi frustrant.
Le délai de rigueur est passé, allons-y de notre solution.

1a) B symétrique de I par rapport à K, donc K milieu de [BI].
     Donc [tex]\overrightarrow{AK}=\frac 1 2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI})=\frac 1 2\overrightarrow{AB}+\frac 1 2\overrightarrow{AIB}[/tex] (1)

1 b) [tex]\overrightarrow{AI}=\frac 1 2(\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{AC})=\frac 1 2\overrightarrow{AJ}+\frac 1 2\overrightarrow{AC}[/tex] (2)

1 c) J milieu de [AK] donc [tex]\overrightarrow{AJ}=\frac 1 2\overrightarrow{AK}[/tex] (3)

1 d) On reprend l'égalité (1) : [tex]\overrightarrow{AK}=\frac 1 2\overrightarrow{AB}+\frac 1 2\overrightarrow{AI}[/tex]
dans laquelle on remplace [tex]\overrightarrow{AI}[/tex] par sdpon expression tirée derl'égalité (2) :
[tex]\overrightarrow{AK}=\frac 1 2\overrightarrow{AB}+\frac 1 2\left(\frac 1 2\overrightarrow{AJ}+\frac 1 2\overrightarrow{AC}\right)[/tex].
On développe : [tex]\overrightarrow{AK}=\frac 1 2\overrightarrow{AB}+\frac 1 4\overrightarrow{AJ}+\frac 1 4\overrightarrow{AC}[/tex].
[tex]\overrightarrow{AK}=\frac 1 2\overrightarrow{AB}+\frac 1 4\times\frac 1 2\overrightarrow{AK}+\frac 1 4 \overrightarrow{AC}[/tex].
On obtient enfin :
[tex]\overrightarrow{AK}=\frac 1 2\overrightarrow{AB}+\frac 1 8\overrightarrow{AK}+\frac 1 4 \overrightarrow{AC}[/tex]

On passe alors [tex]\frac 1 8\overrightarrow{AK}[/tex] dans le 1er membre :

[tex]\overrightarrow{AK}-\frac 1 8\overrightarrow{AK}=\frac 1 2\overrightarrow{AB}+\frac 1 4 \overrightarrow{AC}[/tex]
Sot :
[tex]\frac 7 8\overrightarrow{AK}=\frac 1 2\overrightarrow{AB}+\frac 1 4 \overrightarrow{AC}[/tex]

On multiplie les deux membres par [tex]\frac 8 7[/tex] :
[tex]\overrightarrow{AK}=\frac 8 7\left(\frac 1 2\overrightarrow{AB}+\frac 1 4 \overrightarrow{AC}\right)[/tex]
On développe et on réduit les produits de fractions :
[tex]\overrightarrow{AK}=\frac 4 7\overrightarrow{AB}+\frac 2 7 \overrightarrow{AC}[/tex]
Et enfin, on met [tex]\frac 2 7[/tex] en facteur commun :
[tex]\overrightarrow{AK}=\frac 2 7\left(2\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}\right)[/tex]

La suite pour bientôt

@+

yoshi

Modo Ferox

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Re : Devoir de mathématiques

Re,

Voila la suite.
2.  Expression de vecteur [tex]\overrightarrow{AP}[/tex] en fonction de  [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et de  [tex]\overrightarrow{AC}[/tex]

    [tex]\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AB}+\frac 1 3\overrightarrow{BC}[/tex]
    Donc :
    [tex]\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\frac 1 3\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right) =\overrightarrow{AB}+\frac 1 3\overrightarrow{BA}+\frac 1 3\overrightarrow{AC}=\frac 2 3\overrightarrow{AB}+\frac 1 3\overrightarrow{AC}[/tex]
    Et pour "imiter" la forme de la réponse précédente, j'écris :
    [tex]\overrightarrow{AP}=\frac 1 3\left(2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)[/tex] (*)

    Cette réponse précédente était :
    [tex]\overrightarrow{AK}=\frac 2 7\left(2\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}\right)[/tex] (**)

3.  Alignement. Il faut montrer que [tex]\overrightarrow{AK}=k.\overrightarrow{AP}[/tex]
    Je vais donc écrire que [tex]2\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AP}[/tex] à partir de (*) et je remplace dans (**) :
     [tex]\overrightarrow{AK}=\frac 2 7\times 3\overrightarrow{AP} = \frac 6 7\overrightarrow{AP}[/tex]
     J'ai bien trouvé un nombre k tel que [tex]\overrightarrow{AK}= k.\overrightarrow{AP}[/tex]
Les points A, P, K sont donc alignés, or J étant le milieu de [AK], il appartient à [AK].
     Donc les 4 points A,J,K,P sont alignés.

Alors, Nina, si tu reviens lire ça, j'espère que tu mesures tout ce que tu as perdu en ne donnant plus signe de vie : on t'aurait conduit pas à pas à la solution, expliqué (et réexpliqué si nécessaire) chaque point délicat...
Tu en as décidé autrement, dommage !

@+