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CIRDECO

Invité

règle des signes

Bonsoir,
existe-t-il une preuve mathématique de la règle des signes : (+)x(-)=(-) ; (-)x(-) =(+) et (-)/(-)=(+)
Merci.
C.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : règle des signes

Salut,

oui, bien sûr. En réalité, la règle est la version pédagogique de résultats obtenu sur le corps K muni de deux lois de composition interne + et X dont la seconde est distributive à droite et à gauche par rapport à la première.

Le signe - ne sert qu'à désigner le symétrie de l'élément de K par rapport à la loi +, et le terme / ne sert qu'à désigner le symétrique de la loi X dans K, sauf pour l'élément neutre de la loi +. C'est de l'algèbre en fait. Va voir dans la Bibm@th !

Et comme c'est très abstrait pour un jeune esprit, les profs ont construits cette fameuse règle pour ne pas se prendre les pieds dans le tapis.

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 405

Re : règle des signes

Salut,

En 4e, je montrais à mes zouaves que la règle des signes de la multiplication ne tombait pas du ciel comme ça...
Je leur disais : on connaît la multiplication des nombres positifs, puisque grâce à la simplification d'écriture on sait que +2,5 = 2,5 et que par conséquent (+2,5) * (+3,4) = 2,5 * 3,4 = 8,5 = +8,5.
On décide d'étudier les 3 cas restants.
On impose à la cette multiplication de conserver les propriétés existantes lorsqu'on n'utilise que des positifs, donc de rester distributive par rapport à l'addition, de rester prioritaire, commutative, et de conserver 0 comme élément absorbant.
J'ajoutais que les conditions posées ci-dessus conduisait bien à la fameuse règle.

Moyennant quoi j'écrivais au tableau
2. Cas du produit du + par -
    Calculons (+2,5)*(+3,4)+(+2,5)*(-3,4)...
    On factorise (+2,5)*(+3,4)+(+2,5)*(-3,4) = (+2,5)*[(+3,4)+(-3,4)] = (+2,5)*0 = 0
    Donc (+2,5)*(+3,4)+(+2,5)*(-3,4) = 0
    Mais (+2,5)*(+3,4)+(+2,5)*(-3,4) = (+8,5)+(+2,5)*(-3,4)
    Donc (+8,5)+[(+2,5)*(-3,4)] = 0
    Donc (+2,5)*(-3,4) est l'opposé de +8,5 soit -8,5

3. Cas du produit de - par +
    Puisque la multiplication doit rester commutative, alors :
    (+2,5)*(-3,4) =(-3,4) * (+2,5) = -8,5

4. Cas du produit de - par -:
    Calculons (+2,5)*(-3,4)+(-2,5)*(-3,4).
    On factorise (+2,5)*(-3,4)+(-2,5)*(-3,4) = (-3,4)*[(+2,5)+(-2,5)] = (-3,4)*0 = 0
    Donc (+2,5)*(-3,4)+(-2,5)*(-3,4) = 0   
    Mais (+2,5)*(-3,4)+(+2,5)*(-3,4) = (-8,5)+(-2,5)*(-3,4) = 0
    Donc (-8,5)+[(-2,5)*(-3,4)] = 0
    Donc (-2,5)*(-3,4) est l'opposé de -8,5 soit +8,5

Je précisais que ce qui précédait n'était que des exemples sulkement valables pour ces ex emples numériques choisis et que je pourrais utiliser a, a , b et b
en ajoutant que en bleu j'écris un nombre positif en rouge un négatif et que a+ a = 0
b+ b = 0
Et que le premier calcul devenait :
a * b + a * b.
Enfin, je disais que je ne l'avais pas fait comme ça pour éviter d'en larguer une bonne moitié.

Alors, certes ce que je faisais était contestable sur le plan théorique (moi, je le savais, c'était suffisant), mais mon but était de leur montrer que vouloir garder à la multiplication les même propriétés qu'il n'y ait que des positifs ou présence de négatifs permettait de vérifier que la "règle des signes", n'était pas arbitraire et qu'on la retrouvait...
Ce n'était juste qu'un passage d'1/2 h de cours et explications, mais je n'ai jamais eu ensuite de questions du genre : et pourquoi - x - = + ?

@+

CIRDECO

Invité

Re : règle des signes

Bonsoir,
MERCI beaucoup d'avoir pris le temps de répondre de façon aussi détaillée !!!
Très cordialement,
C.