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totomm

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Angle des diagonales d'un quadrilatère quelconque

Bonjour,

Soit ABCD un quadrilatère convexe. soient AB = a, BC = b, CD = c, DA = d les longueurs de ses cotés
soit [tex]\alpha[/tex] l'angle entre ses diagonales [AC] et [BD] et S l'aire du quadrilatère
Sauriez-vous démontrer : [tex]S = \frac{1}{4}(b^2+d^2-a^2-c^2)\tan(\alpha)[/tex] ?

EDIT : J'avais oublié le 4 au dénominateur, Merci jpp.

Dernière modification par totomm (30-12-2013 11:52:50)

jpp

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Re : Angle des diagonales d'un quadrilatère quelconque

salut.

@totomm

j'ai effectué une démonstration , je me suis peut-être planté , mais je trouve : [tex]S = \frac14\times{(a^2+c^2-d^2-b^2)}\times{\tan{\alpha}}[/tex] 

donc un quart de ce que tu as écrit. j'ai vérifié avec un rectangle de 2 x 1 qui donne un angle des diagonales de 53°.13

                                                                                         à plus

totomm

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Re : Angle des diagonales d'un quadrilatère quelconque

Bonjour,

Merci jpp, j'ai corrigé. Vous pourrez donner votre démonstration quand vous le jugerez utile...
Bien sûr, l'aire est positive, le signe dans les parenthèses dépend de l'angle ou de son complémentaire choisi.

Dernière modification par totomm (30-12-2013 11:59:01)

jpp

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Re : Angle des diagonales d'un quadrilatère quelconque

re

je joins d'abord mon dessin pour la démo .

▼une réponse

si je joins les milieux des 4 côtés   a , b , c & d j'obtiens un parallélogramme . je passe sur la démo en rappelant que son aire est

[tex]S = \frac12\times{AC}\times{BD}\times{\sin{\alpha}}[/tex] (celle du quadrilatère ABCD bien entendu)

Maintenant je décompose les segments AC = e + g  et  BD = f + h

la surface du polygone peut donc s'écrire [tex]\frac12\times{(e+g)}\times{(f+h)}\times{\sin{\alpha}} =\frac12\times{\left[e.f + g.f + e.h + g.h\right]}\times{\sin{\alpha}} [/tex]

si j'applique le théorème d'Al Kashi dans les 4 triangles AIB , AID , BIC & CID  , j'obtiens :

[tex]e.f = \frac{a^2-e^2-f^2}{2.\cos{\alpha}}[/tex]

[tex]e.h = \frac{e^2+h^2-d^2}{2.\cos{\alpha}}[/tex]

[tex]f.g = \frac{f^2+g^2-b^2}{2.\cos{\alpha}}[/tex]

[tex]h.g = \frac{c^2-h^2-g^2}{2.\cos{\alpha}}[/tex]

maintenant si je reporte mes 4 valeurs dans la formule: [tex]\frac12\times{\left[e.f + g.f +e.h + g.h\right]}\times{\sin{\alpha}}[/tex]

j'obtiens [tex]S = \frac12\times{\sin{\alpha}}\times\frac{a^2 - e^2 - f^2 + e^2 + h^2 - d^2 + f^2 + g^2 - b^2 + c^2 - h^2 - g^2}{2.\cos{\alpha}}[/tex]

qui , après simplifications me donne: [tex]S = \frac14\times{\left[a^2 - d^2 + c^2 - b^2\right]}\times{\tan{\alpha}}[/tex]

si je n'ai pas fait d'erreurs.

                                                                                                    à plus.

Dernière modification par jpp (30-12-2013 20:31:52)