Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 29-12-2013 18:27:52
- hectors
- Membre
- Inscription : 29-12-2013
- Messages : 31
Question bête et gentille, réponse par oui ou non.
Bonjour, une question simple, si vous avez le temps:
Soit u(n) une suite (le bouton insérer équation bug chez moi pour l'instant)
Le fait que u(n) * n² ->0 signifie t-il que u(n)~1/n² ?
Bonne soirée.
Hors ligne
#3 29-12-2013 19:17:41
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 17 385
Re : Question bête et gentille, réponse par oui ou non.
Re,
(le bouton insérer équation bug chez moi pour l'instant)
A priori, ce bouton ne bugue que si Java ne figure pas sur ta machine...
Et de toutes façons, même s'il bugue, tu n'as pas accès à une interface "maison" entre LateX et toi, c'est tout ; moi, comme beaucoup d'autres, je m'en passe : je suis les indications données sur la page Code LaTeX et là, ça marche toujours...
@+
Hors ligne
#4 29-12-2013 19:19:42
- hectors
- Membre
- Inscription : 29-12-2013
- Messages : 31
Re : Question bête et gentille, réponse par oui ou non.
Mais alors dans le petit 3) de l'ex 1 de cette correction, on a [tex]\lim_{n\mapsto \infty }n²{u}_{n}=0\,\,\Rightarrow [/tex] la série est convergente par comparaison à une série de Riemann. Comment se fait-ce?
Dernière modification par hectors (29-12-2013 19:23:46)
Hors ligne
#6 30-12-2013 17:04:25
- hectors
- Membre
- Inscription : 29-12-2013
- Messages : 31
Re : Question bête et gentille, réponse par oui ou non.
Est-ce que c'est parce-que n² est négligeable devant u(n), et donc que u(n) vaut [tex]\frac{1}{{n}^{a}}[/tex] avec a>2? Si c'est pas ça explique moi stp.
Dernière modification par hectors (30-12-2013 17:52:08)
Hors ligne
#7 30-12-2013 19:11:28
Re : Question bête et gentille, réponse par oui ou non.
Salut !
La correction s’appuie sur une propriété que j'ai apprise sous le nom de "critère de Riemann". C'est basé sur sur les "séries de Riemann" et vu que ça se montre en deux lignes, on évite de donner un nom à ce "critère" pour ne pas alourdir les notations et on dit simplement "par les séries de Riemann"... Mais il faut l'avoir vu une fois !
[tex] \lim_{n \rightarrow \infty}n^2u_n = 0 [/tex] implique qu'il existe un rang N tel que pour tout n plus grand que N on ait :
[tex] n^2|u_n| \leq 1[/tex]. Donc pour tout n plus grand que N, [tex] |u_n| \leq \frac{1}{n^2} [/tex]. Autrement dit, la suite est négligeable par rapport à 1/n^2, (ou encore, c'est un grand O de 1/n^2).
Edit : tu peux remplacer 2 par [tex]\alpha > 1[/tex] et tu obtiens un critère plus général pour la convergence de la série des [tex]u_n[/tex].
Dernière modification par Choukos (30-12-2013 19:19:46)
Hors ligne
#8 14-01-2014 16:21:06
- Dico
- Membre
- Inscription : 12-12-2009
- Messages : 120
Re : Question bête et gentille, réponse par oui ou non.
Bonjour à tous
Bonne preuve choukos mais $u_n$ est donc un petit o de $1/n^2$.
L'inégalité $|u_n|\leq 1/n^2$ entraine par le critère de convergence par comparaison des séries à termes positifs que $\sum u_n$ converge absolument et donc converge puisque $\mathbb R$ est complet
Hors ligne
#9 12-02-2014 23:11:06
Re : Question bête et gentille, réponse par oui ou non.
Salut,
Je suis désolé de faire remonter ce sujet à demi-enterré mais je tiens à ce que j'ai dis ! :) Notre suite est ici à la fois un petit o et un grand O de 1/n², mais je préfère dire que c'est un grand O avant d'utiliser un théorème de comparaison... a priori si on dit simplement que c'est un petit o, il n'est pas immédiat qu'on peut appliquer le critère que tu cites.
C'est justement l'enjeu, on veut montrer que cette suite qui est un petit o de 1/n² est aussi un grand O de 1/n².
Dernière modification par Choukos (12-02-2014 23:17:51)
Hors ligne
#11 14-02-2014 17:25:40
Re : Question bête et gentille, réponse par oui ou non.
La preuve que j'ai donné montre que la suite est un grand O de 1/n².
Tu sais déjà que c'est un petit o par hypothèse : [tex] n^2u_n \rightarrow 0[/tex] signifie que [tex]\frac{u_n}{1/n^2} \rightarrow 0[/tex] ce qui est la définition d'être un petit o de 1/n².
Là j'ai démontré qu'à partir d'un certain rang, il existe une constante strictement positive (c'est 1), telle que :
[tex] | u_n | \leq C \frac{1}{n^2} [/tex],
ce qui est la définition d'être un grand O de 1/n².
J'aurais plutôt dû dire que la suite est "dominée" par 1/n² et non "négligeable"... même si elle est ici à la fois "négligeable" (au sens des petits o) et "dominée" (au sens des grand O).
J'espère ne pas dire de bêtises !
Bon après-midi
Hors ligne
#12 17-02-2014 15:01:52
- Dico
- Membre
- Inscription : 12-12-2009
- Messages : 120
Re : Question bête et gentille, réponse par oui ou non.
Justement je continue à voir une bêtise!
[tex]\frac{u_n}{1/n^2}\to 0[/tex] équivaut à [tex]\forall C>0,[/tex] à partir d'un certain rang on a: [tex]|u_n|\leq C\frac{1}{n^2}[/tex].
Et ça, c'est la définition de [tex](u_n)[/tex] est un petit 0 (ou est négligeable) de [tex](1/n^2)[/tex].
Ainsi si [tex](u_n)[/tex] et [tex](v_n)[/tex] sont deux suites inversement négligeable l'une de l'autre alors, elles sont égales à partir d'un certain rang.
Bon après-midi !
Hors ligne
#13 17-02-2014 15:49:17
Re : Question bête et gentille, réponse par oui ou non.
Salut,
Je suis d'accord, mais moi j'ai explicité et fixé une constante C. Ce qui donne bien la définition d'être un grand O. Après c'est vrai qu'avec ton critère d'être un petit o on peut bien appliquer un théorème de comparaison.
Hors ligne