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apoi

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limite et définition

s'il vous plait aidez-moi à cette question , j'ai essayé mes aucun résultat en plus je ne sais pas comment bien utiliser la défintion da la limite pour résoudre tel question , et merci d'avance . voilà ;

démontrer en utilisant la définition de la limite que :

[tex]\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{3}}{(1+x^{2})\arctan(x)}-\frac{2x}{\pi}=\frac{4}{\pi^{2}}[/tex]

totomm

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Re : limite et définition

Bonjour,

Posons   [tex]x=\frac{1}{y}[/tex] et utilisons [tex] arctan(x)+arctan(\frac{1}{x}) = \frac{\pi}{2}[/tex]

puis [tex]\lim_{y\to 0}\  \frac{1}{\frac{\pi}{2}(1-\frac{2arctan(y)}{\pi})}=\frac{1}{\frac{\pi}{2}(1-\frac{2y}{\pi})}=\frac{2}{\pi}(1+\frac{2y}{\pi}+...)[/tex]

[tex]\lim_{y\to 0}\  \frac{1}{y(1+y^2)(\frac{\pi}{2}-arctan(y))}-\frac{2}{y\pi } = \lim_{y\to 0}\  \frac{1}{y(1+y^{2}) }\frac{2}{\pi}(1+\frac{2y}{\pi}+...)-\frac{2}{y\pi } =\frac{4}{\pi^2}[/tex]

Dernière modification par totomm (18-12-2013 12:25:14)

apoi

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Re : limite et définition

s'il vous plait pourriez-vous utiliser la définition de la limite .

on a :
                           x/1+x² < arctan(x) < x  pour tout x strictement positif

totomm

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Re : limite et définition

re Bonjour,

@ apoi :
Apparemment ma démonstration ne vous convient pas.
Je vais donc vous laisser définitivement réfléchir sur votre remarquable inégalité qui confirme
[tex]Quand\ x \to +\infty\ alors\ 0 < \frac{\pi}{2} < +\infty[/tex]

freddy

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Re : limite et définition

Salut,

je ne vois pas comment faire autrement que totomn, sauf en détaillant les manipulations comme suit, après avoir posé [tex]u=\frac{1}{x}[/tex] utilisé la propriété de la fonction arctg de x et de 1/x et le fait que[tex] \arctan(u) = u[/tex] pour u voisin de 0  :

[tex]\frac{x^3}{(1+x^2)\arctan(x)}-\frac{2x}{\pi}= \frac{\pi-2\times (1+u^2)\times \left(\frac{\pi}{2}-u\right)}{\pi\times u\times (1+u^2)\times \left(\frac{\pi}{2}-u\right)}=\frac{2-\pi u - 2u^2}{\pi\times (1+u^2)\times   \left(\frac{\pi}{2}-u\right)}[/tex].

Il ne reste plus qu'à faire tendre u vers [tex]0^+[/tex] pour retrouver le résultat du texte.

Dernière modification par freddy (20-12-2013 13:23:19)

Yassine

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Re : limite et définition

apoi,

Pour rendre les choses un peu plus claire, il faut d'abord revenir à la définition de la dérivée d'une fonction [tex]f(x)[/tex] en [tex]x_0[/tex] : [tex] f^{'}(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/tex].

Donc, si on note [tex]\psi(x) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f^{'}(x_0)[/tex], alors [tex] \lim_{x\to x_0}\psi(x)=0[/tex].
En réécrivant différemment, on obtient [tex]f(x) = f(x_0) + f^{'}(x_0)(x-x_0) + \psi(x)(x-x_0)[/tex] avec [tex] \lim_{x\to x_0}\psi(x)=0[/tex].

On peut donc appliquer ce développement à la fonction [tex]arctan(u)[/tex] en [tex]0[/tex] ([tex]arctan(0)=0[/tex] et [tex]arctan^{'}(0)=1[/tex]) et cela donne [tex]arctan(u)=u + \psi(u)u, \lim_{u\to 0}\psi(u)=0[/tex], on peut donc en déduire que [tex]\lim_{u\to 0} \frac{1}{u}(arctan(u)-\frac{\pi u}{2}) = 1-\frac{\pi}{2}[/tex].

En suivant le conseil donné par totom et freddy (utilisation de l'identité [tex]arctan(x) + arctan(\frac{1}{x})=\frac{\pi}{2}[/tex] et du changement de variable [tex]u=\frac{1}{x}[/tex]) tu pourras arriver au résultat demandé.

Dernière modification par Yassine (20-12-2013 07:52:22)

freddy

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Re : limite et définition

Re,

@Yassine : perso, ça aurait tendance à m'embrouiller un peu plus. Toutefois, comme apoi ne revient jamais nous dire s'il a compris ou pas, difficile de déterminer la bonne méthode pour lui.

Yassine

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Re : limite et définition

Re,

@Yassine : perso, ça aurait tendance à m'embrouiller un peu plus. Toutefois, comme apoi ne revient jamais nous dire s'il a compris ou pas, difficile de déterminer la bonne méthode pour lui.

Re,
Disons que comme on était dans une section "collège-lycée", je me suis dit que l'utilisation de l'équivalence de l'arctangente avec x au voisinage de zéro pouvait sembler mystérieuse, ou du moins aucune explication n'en était donnée (aussi bien dans ton poste que dans celui de totom).
Maintenant, comme dit l'adage, le mieux est l'énnemie du bien, j'aurais peut être dû m'abstenir.

freddy

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Re : limite et définition

Salut,

je crois qu'en Terminale, on te montre des choses du genre de celles que tu indiques, comme : montrer que la limite en 0 du quotient [tex]\frac{\arctan(x)}{x}[/tex] est égale à 1.

On te fait remarquer qu'on dit alors qu'au voisinage de 0, la fonction est équivalente à [tex]x[/tex].

Puis on te dit que tu verras cela dans le supérieur, mais que d'ores et déjà, c'est un "truc" à connaitre, avec d'autres fonctions comme l'exponentielle, les fonctions circulaires, la fonction Ln, ... car ça sert bien dans certains calculs un peu délicats.

On te fait faire ensuite deux ou trois autres exos du même acabit en te montrant comment on se ramène à un résultat connu après quelques manipulations classiques et on espère que tu sauras t'en servir intelligemment le moment venu.

Voilà pourquoi j'ai utilisé le raccourci indiqué.

En tout cas, j'ai bien aimé le faire, car c'était loin d'être rapidement évident !

Dernière modification par freddy (20-12-2013 21:28:11)