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Lucie

Invité

Limite d'une suite

bonjour

j'aimerais avoir une piste pour la dernière question car je n'y arrive pas.

on a une fonction f définie sur R par [tex]f(x)=xe^x -1[/tex]

a) calculer les limites de g en +l'infini et - l'infini et interpreter
en +l'infini : + l'infini
en - l'infini : -1 (asymtote y=-1)

b) calculer la dérivée et dresser le tableau de variation
f'(x)=e^x
croissante sur -l'infini et +l'infini

c) etudier la position de la courbe par rapport a sa tangeante en x=0
la tangeante : y=f'(0)(x-0)+f(0)=1x-1=x-1

f(x)-(x-1) supérieur à 0 sur [- l'infini ; 0[
f(x)-(x-1) inférieur à 0 sur ]0; +l'infini[
donc C est au dessus de la tangeante sur ]-l'infini;0[ et en dessous sur ]0;+l'infini]

Question : faut il prendre la valeur de 0 dans l'intervalle ?

d) Prouver qu'il n'y a pas de tangeante à la courbe C qui passe par l'origine du repère.
je ne vois vraiment pas.

merci de votre aide

peaceee

Invité

Re : Limite d'une suite

yaurais pas par hasard une erreur lors du calcul de la derivé ? :d

yoshi

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Re : Limite d'une suite

RE,

L'erreur n'est pas un hasard, à tout le moins une fatalité (pour certains).

@Lucie
Oui, la dérivée est fausse
La dérivée de U*V : (U*V)'= U'*V+U*V'.

Corrige, reprends tes calculs et reviens...

@+

Lucie

Invité

Re : Limite d'une suite

f'(x)=1*e^x+e^x*x=e^x+e^2x=e^x(x+1)
la fonction est donc croissante

y=f'(0)(x-0)+f(0)=1(0+1)(x-0)+0e^0-1=x-1
f(x)-(x-1) supérieur à 0 sur [- l'infini ; 0[
f(x)-(x-1) inférieur à 0 sur ]0; +l'infini[
donc C est au dessus de la tangeante sur ]-l'infini;0[ et en dessous sur ]0;+l'infini]

yoshi

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Re : Limite d'une suite

Bonsoir,

Non.
Ta fonction est d'abord décroissante puis croissante : ta dérivée était fausse alors cela aussi  était faux et à refaire,
si g(x) est asymptote à f(x), alors pour savoir si la courbe de f est au dessus ou au dessous de celle de g, on étudie le signe de f(x)-g(x)...
Ici donc, avec g(x)=-1, on étudie le signe de [tex]f(x)-g(x)= xe^x-1-(-1) = xe^x[/tex] quand x tend vers [tex]-\infty[/tex].

@+

Lucie

Invité

Re : Limite d'une suite

j'ai calculer la dérivée on a e^x(1+x)
on a e^x positif
et 1+x décroit jusque 1 et croit ensuite
donc la fonction décroit et croit ensuite à 1 ?

pour etudier la courbe on e demande par rapport à sa tangente en x=0

yoshi

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Re : Limite d'une suite

Bonjour,

1+x décroît jusque 1 et croît ensuite

Non, sois précise !
La fonction g (par exemple) telle que g(x) =1 + x est croissante sur [tex]]-\infty\`;;\;+\infty[[/tex]
Mais
1+x est négatif sur [tex]]-\infty\;;\;-1[[/tex] nul pour x =-1 et positif sur[tex] ]-1\;;\:+\infty[[/tex]
et [tex]e^x > 0[/tex] sur [tex] ]-1\;;\:+\infty[[/tex] (ça, c'est exact).

Donc la dérivée :
est négative sur [tex]]-\infty\;;\;-1[[/tex] nulle pour x =-1 et positive sur[tex] ]-1\;;\:+\infty[[/tex]
et la fonction f
est décroissante sur [tex]]-\infty\;;\;-1[[/tex], admet un minimum pour x =-1 et est croissante sur[tex] ]-1\;;\:+\infty[[/tex]

Sur [tex]]-\infty\;;\;0[[/tex], [tex]xe^x-1-(-1)[/tex] est négatif, la courbe est en dessous de son asymptote...
Que se passe-t-il en x = 0 ?
Si tu avais tracé sur ta calculatrice les 2 courbes d'équations [tex]y = xe^x-1[/tex] et [tex]y = -1[/tex] et regardé en x = 0, tu saurais !
Alors, prends ta calculatrice, fais ces tracés et reviens...
La justification est (très) facile à apporter, mais pour cela, tu dois d'abord savoir ce que tu cherches !
Donc ---> calculatrice...

@+

Lucie

Invité

Re : Limite d'une suite

merci beaucoup mais pour etudier la position de la courbe on doit le faire avec sa tangeante en x=0 pourquoi on prend son asymptote ?
j'avais fait des traces avec ma calculatrice déjà.
à partir de x=0 la courbe est au dessus de y=-1

yoshi

Modo Ferox

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Re : Limite d'une suite

Salut,

Bon, moi j'en étais resté à l'asymptote..
Oui, en x = 0, la tangente à la courbe a pour équation [tex]y = x-1[/tex]
La courbe est au dessus, toujours au dessus :
[tex]xe^x-1-(x-1)=xe^x-x= x(e^x-1)[/tex]
Si x <0, [tex] e^x-1 <0[/tex] aussi donc [tex]x(e^x-1)>0[/tex]
Si x >0, [tex] e^x-1 >0[/tex] aussi donc [tex]x(e^x-1)>0[/tex]

Ce qui te préoccupe maintenant, c'est ça ?

d) Prouver qu'il n'y a pas de tangente à la courbe C qui passe par l'origine du repère.

Pas évident...
Ecrivons l'équation d'une tangente à la courbe en un point x = a.
[tex]f'(a)=(a+1)e^a,\;f(a)=ae^a-1[/tex]
L'équation cherchée est donc :
[tex] y = (a+1)e^a(x-a)+ae^a-1[/tex]

Si une tangente passe par l'origine alors son ordonnée à l'ordonnée doit être nulle : une telle droite a pour équation [tex]y = mx[/tex]
Essaie, et tu verras qu'il n'existe aucune valeur de a relle que l'ordonnée à l'origine soit nulle, donc qu'il n'existe aucune tangente à la courbe passa

yoshi

Modo Ferox

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Re : Limite d'une suite

Salut,

Bon, moi j'en étais resté à l'asymptote..
Oui, en x = 0, la tangente à la courbe a pour équation [tex]y = x-1[/tex]
La courbe est au dessus, toujours au dessus :
[tex]xe^x-1-(x-1)=xe^x-x= x(e^x-1)[/tex]
Si x <0, [tex] e^x-1 <0[/tex] aussi donc [tex]x(e^x-1)>0[/tex]
Si x >0, [tex] e^x-1 >0[/tex] aussi donc [tex]x(e^x-1)>0[/tex]

Ce qui te préoccupe maintenant, c'est ça ?

d) Prouver qu'il n'y a pas de tangente à la courbe C qui passe par l'origine du repère.

Pas évident...
Ecrivons l'équation d'une tangente à la courbe en un point x = a.
[tex]f'(a)=(a+1)e^a,\;f(a)=ae^a-1[/tex]
L'équation cherchée est donc :
[tex] y = (a+1)e^a(x-a)+ae^a-1[/tex]

Si une tangente passe par l'origine alors son ordonnée à l'ordonnée doit être nulle : une telle droite a pour équation [tex]y = mx[/tex]
Essaie, et tu verras qu'il n'existe aucune valeur de a relle que l'ordonnée à l'origine soit nulle, donc qu'il n'existe aucune tangente à la courbe passant par O(0 ; 0)

@+

Lucie

Invité

Re : Limite d'une suite

merci beaucoup.
j'avais essayé de raisonner par l'absurde en disant que la fonction admet une tangente qui passe par l'origine
pour cela on aurait 0=f'(a)(0-a)+f(a)
ce qui est impossible car 0 n'est pas égale à 0-1

comment je montre qu'il y a pas de reelle a à l'ordonnée qu'il soit nulle ?
j'ai vu en essayant mais je ne vois pas comment le mettre dans ma copie

yoshi

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Re : Limite d'une suite

Salut,

A vue de nez comme ça, je dirais que ta méthode doit revenir au même que ce que j'ai proposé...
Je suis part du constat : je peux trouver beaucoup de tangentes à la courbe.
J'écris l'équation, puis je dis : si elle passe passe par l'origine, l'"ordonnée à l'origine", c'est à dire le p de y=mx+p vaut 0...
C'est juste du calcul "bête et méchant"...
[tex]y = (a+1)e^a(x-a)+ae^a-1[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow[/tex]
[tex]y = (a+1)e^ax-a(a+1)e^a+ae^a-1[/tex]
L'ordonnée à l'origine, c'est :
[tex]p=-a(a+1)e^a+ae^a-1[/tex]
que je vais simplifier :
[tex]p =ae^a(-a-1+1)-1 = -a^2e^a-1[/tex]
Et pour que p = 0,
il faut et il suffit que :
[tex]a^2e^a = -1[/tex]
Je te laisse conclure...

@+

Lucie

Invité

Re : Limite d'une suite

merci beaucoup